Encontre os valor de a que torna f contínua em todo seu domínio. (3,0 pontos)
f(x) = { a*x^2 + 2*x, se x < 2; x^3 - a*x, se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar os valores de que fazem a função ser contínua em todo o seu domínio. Isso envolve entender o que é continuidade de função e como garantir que não haja “quebras” na função quando ela muda de uma expressão para outra. Vamos precisar da definição de limite e garantir que o limite pela esquerda e pela direita no ponto de transição sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde a função muda de expressão. Aqui, isso acontece em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) deve ser igual ao limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ) e também igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, usando a expressão . Substituímos por 2:

Passo 4

Agora, calculamos o limite pela direita, usando a expressão . Substituímos por 2:

Passo 5

Para que a função seja contínua em , esses dois limites devem ser iguais. Então, igualamos as expressões:

Passo 6

Agora, resolvemos essa equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna contínua em todo o seu domínio é .

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