convirja para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
E essa série está igualada a . Nosso objetivo é descobrir o valor de que faz essa igualdade ser verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o padrão da série. Olhando para os coeficientes:
  • O primeiro termo é
  • O segundo termo é
  • O terceiro termo é
  • E assim por diante…
Perceba que cada coeficiente está sendo multiplicado por -4 a cada passo:
  • E continua desse jeito.
Isso indica que nossa série é geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante, que nesse caso é .

Passo 3

Agora, vamos observar as potências de em cada termo:
  • No primeiro termo, temos
  • No segundo,
  • No terceiro,
  • E assim por diante…
As potências de aumentam de 2 em 2. Isso significa que a cada passo, a potência de aumenta em 2 unidades.

Passo 4

Com isso, podemos escrever o termo geral da série. O termo geral de uma série geométrica é dado por:
Onde:
  • é o primeiro termo
  • é a razão
  • é o número do termo
No nosso caso:
  • (porque a razão envolve também a divisão por )

Passo 5

A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Mas isso só é válido se a razão . Vamos aplicar essa fórmula à nossa série:

Passo 6

Sabemos que essa soma é igual a . Então, colocamos a equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 7

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para deixar tudo igual a zero:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:

Passo 9

Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 10

Mas precisamos verificar qual dessas soluções é válida para a nossa série. Lembra que a série só converge se , onde .
Vamos testar cada solução:
  1. Para :
ã
  1. Para :

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

Exercícios relacionados

Simplifique os radicais
Efetue e simplifique, quando for o caso
Simplifique os radicais
Reescreva os radicais com o menor índice possível