Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
E essa série está igualada a . Nosso objetivo é descobrir o valor de que faz essa igualdade ser verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o padrão da série. Olhando para os coeficientes:
O primeiro termo é
O segundo termo é
O terceiro termo é
E assim por diante…
Perceba que cada coeficiente está sendo multiplicado por -4 a cada passo:
E continua desse jeito.
Isso indica que nossa série é geométrica, onde cada termo é multiplicado por uma razão constante, que nesse caso é .
Passo 3
Agora, vamos observar as potências de em cada termo:
No primeiro termo, temos
No segundo,
No terceiro,
E assim por diante…
As potências de aumentam de 2 em 2. Isso significa que a cada passo, a potência de aumenta em 2 unidades.
Passo 4
Com isso, podemos escrever o termo geral da série. O termo geral de uma série geométrica é dado por:
Onde:
é o primeiro termo
é a razão
é o número do termo
No nosso caso:
(porque a razão envolve também a divisão por )
Passo 5
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Mas isso só é válido se a razão . Vamos aplicar essa fórmula à nossa série:
Passo 6
Sabemos que essa soma é igual a . Então, colocamos a equação:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar .
Passo 7
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 5 para eliminar a fração:
Passo 8
Vamos rearranjar a equação para deixar tudo igual a zero:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 9
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 10
Mas precisamos verificar qual dessas soluções é válida para a nossa série. Lembra que a série só converge se , onde .