(x^3 + x y^2 - y) dx + (y^3 + x^2 y - x) dy = 0
R. (x^2 + y^2) / y = c

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Para isso, vamos usar o conceito de equação exata e fatores integrantes, que nos ajudarão a simplificar e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se satisfaz a condição:
Aqui, e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à :
Comparando os termos, vemos que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos:
A solução geral da equação exata é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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