R.
R.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
. Para isso, vamos usar o conceito de equação exata e fatores integrantes, que nos ajudarão a simplificar e resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se satisfaz a condição:
Aqui,
e
.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à
:
Comparando os termos, vemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
A solução geral da equação exata é dada por
. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
A seguir, você irá calcular
, onde
está delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .
b) (1,0 ponto) Calcule
Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) .
Resposta:
(b)
Resposta:
© .
Resposta: .
(d) .
Resposta: .
(e) .
Resposta: .
(f)
Resposta: .
(a)
Resposta:
(b)
Resposta:
©
Resposta:
(d)
Resposta:
(e)
Resposta:
(f)
Resposta:
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral
.
Resposta: .
Resposta:
R.