R.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Para isso, vamos usar o conceito de equação exata e fatores integrantes, que nos ajudarão a simplificar e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se satisfaz a condição:
Aqui, e .
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece na integração.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a e igualar à :
Comparando os termos, vemos que:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo na expressão de , temos:
A solução geral da equação exata é dada por . Portanto:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .
Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) .
Resposta:
(b)
Resposta:
© .
Resposta: .
(d) .
Resposta: .
(e) .
Resposta: .
(f)
Resposta: .
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: .

R.