A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é delimitada pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano (que é quando ).
Aqui, vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, que é bem útil quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro .
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O cilindro vira , então vai de 0 a 2.
O paraboloide vira . E como estamos indo até o plano , que é , nosso vai de 0 até .
O ângulo completa uma volta, então vai de 0 a .
Passo 3
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a parte da integral em primeiro. A integral de em relação a é simples:
Então, agora nossa integral fica:
Passo 5
Vamos separar essa integral em duas partes:
Primeiro, vamos resolver .
Passo 6
Vamos resolver a primeira parte:
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, .