A seguir, você irá calcular integral triplaE^square e^z d V, onde E está delimitado pelo paraboloide z=1+x^2+ y^2, pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelo plano x y. Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule integral triplaE^square e^z d V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE^square e^z , dV, onde a região E é delimitada pelo paraboloide z = 1 + x^2 + y^2, pelo cilindro x^2 + y^2 = 4 e pelo plano xy (que é quando z = 0).
Aqui, vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, que é bem útil quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro x^2 + y^2 = 4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • z = z
O cilindro x^2 + y^2 = 4 vira r = 2, então r vai de 0 a 2.
O paraboloide z = 1 + x^2 + y^2 vira z = 1 + r^2. E como estamos indo até o plano xy, que é z = 0, nosso z vai de 0 até 1 + r^2.
O ângulo theta completa uma volta, então vai de 0 a 2pi.

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dz , dr , dtheta.
Então, nossa integral fica:
integral triplaE^square e^z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^1 + r^2 e^z , r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a parte da integral em z primeiro. A integral de e^z em relação a z é simples:
integral0^1 + r^2 e^z , dz = e^z g|0^1 + r^2 = e^1 + r^2 - e^0 = e^1 + r^2 - 1
Então, agora nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^2 (e^1 + r^2 - 1) r , dr , dtheta

Passo 5

Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^2pi integral0^2 e^1 + r^2 , r , dr , dtheta - integral0^2pi integral0^2 r , dr , dtheta
Primeiro, vamos resolver integral0^2pi dtheta = 2pi.

Passo 6

Vamos resolver a primeira parte:
2pi integral0^2 e^1 + r^2 , r , dr
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja u = 1 + r^2, então du = 2r , dr, ou seja, r , dr = 12 du.
Quando r = 0, u = 1; quando r = 2, u = 1 + 4 = 5.
Então, a integral fica:
2pi cdot 12 integral1^5 e^u , du = pi (e^5 - e^1)

Passo 7

Agora, a segunda parte:
2pi integral0^2 r , dr = 2pi [r^22]0^2 = 2pi (42 - 0) = 2pi cdot 2 = 4pi

Passo 8

Juntando as duas partes, temos:
pi (e^5 - e) - 4pi = pi (e^5 - e - 4)

Resposta

O valor da integral tripla é pi (e^5 - e - 4).

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