A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é delimitada pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano (que é quando ).
Aqui, vamos usar integração em coordenadas cilíndricas, que é bem útil quando temos simetria circular, como nesse caso com o cilindro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Em coordenadas cilíndricas, temos:
O cilindro vira , então vai de 0 a 2.
O paraboloide vira . E como estamos indo até o plano , que é , nosso vai de 0 até .
O ângulo completa uma volta, então vai de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a parte da integral em primeiro. A integral de em relação a é simples:
Então, agora nossa integral fica:

Passo 5

Vamos separar essa integral em duas partes:
Primeiro, vamos resolver .

Passo 6

Vamos resolver a primeira parte:
Aqui, fazemos uma substituição simples: seja , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, a segunda parte:

Passo 8

Juntando as duas partes, temos:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) .
Resposta:
(b)
Resposta:
© .
Resposta: .
(d) .
Resposta: .
(e) .
Resposta: .
(f)
Resposta: .
Calcule a integral , onde .

R.
Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: .