Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) .
Resposta:
(b)
Resposta:
© .
Resposta: .
(d) .
Resposta: .
(e) .
Resposta: .
(f)
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o cálculo de resíduos. Esse tipo de integral envolve funções racionais e integrais impróprias, então vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especificamente o teorema dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função no plano complexo e calcular seus resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos estender a função para o plano complexo: . Para aplicar o cálculo de resíduos, precisamos encontrar os polos de , ou seja, os valores de que fazem o denominador zero.

Passo 3

Vamos resolver :
Assim, os polos são:
Esses são os quatro polos simples da função .

Passo 4

Como a integral é de 0 a , podemos considerar um caminho de integração que vai do 0 ao no eixo real, depois uma semicircunferência no semiplano superior, e de volta a 0. Conforme , a contribuição da semicircunferência tende a zero.

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do semiplano superior. Os polos no semiplano superior são e .

Passo 6

Vamos calcular o resíduo em :
Similarmente, para :

Passo 7

Somando os resíduos:
Simplificando usando fórmulas de Euler:
Portanto:

Passo 8

Aplicando o teorema dos resíduos:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule a integral , onde .
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função em torno de .
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .

R.