Usando o cálculo de resíduos calcular as seguintes integrais:
(a) integral0^infty 1x^4+1 d x.
Resposta: pi2 raiz2
(b) integral-infty^infty x(x^2+4 x+13)^2 d x
Resposta: -pi / 27
© integral0^infty x^2(x^2+a^2)^2 d x, a>0.
Resposta: pi /(4 a).
(d) integral0^infty 1(x^2+1)^n d x, n in N.
Resposta: 1.3 5 ldots(2 n-3)2.4 6 (2 n-2) pi2.
(e) integral-infty^infty 1(x^2+a^2)(x^2+b^2) d x, a>0, b>0.
Resposta: pia b(a+b).
(f) integral0^infty x^2+1x^4+1 d x
Resposta: pi raiz2 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o cálculo de resíduos. Esse tipo de integral envolve funções racionais e integrais impróprias, então vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especificamente o teorema dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função no plano complexo e calcular seus resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos estender a função para o plano complexo: . Para aplicar o cálculo de resíduos, precisamos encontrar os polos de , ou seja, os valores de que fazem o denominador zero.

Passo 3

Vamos resolver z^4 = -1 implies z = e^i(pi4 + kpi2) para k = 0,1,2,3 :
z = e^ipi/4, e^i3pi/4, e^i5pi/4, e^i7pi/4
Assim, os polos são:
Esses são os quatro polos simples da função .

Passo 4

Como a integral é de 0 a , podemos considerar um caminho de integração que vai do 0 ao no eixo real, depois uma semicircunferência no semiplano superior, e de volta a 0. Conforme , a contribuição da semicircunferência tende a zero.

Passo 5

Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do semiplano superior. Os polos no semiplano superior são e .

Passo 6

Vamos calcular o resíduo em Res(f, e^ipi/4) = limz to e^ipi/4 z - e^ipi/4z^4 + 1 = 14z^3 g|z = e^ipi/4 = 14(e^ipi/4)^3 = 14e^i3pi/4 :
Res(f, e^i3pi/4) = 14e^i9pi/4 = 14e^ipi/4
Similarmente, para :

Passo 7

Somando os resíduos:
Res(f, e^ipi/4) + Res(f, e^i3pi/4) = 14e^i3pi/4 + 14e^ipi/4 = 14(e^-i3pi/4 + e^-ipi/4)
Simplificando usando fórmulas de Euler:
e^-i3pi/4 + e^-ipi/4 = raiz2(-1raiz2 - iraiz2 + 1raiz2 - iraiz2) = -iraiz2
Portanto:
Res(f, e^ipi/4) + Res(f, e^i3pi/4) = -iraiz24

Passo 8

Aplicando o teorema dos resíduos:
integral0^infty 1x^4 + 1 , dx = 12 times 2pi i times (-iraiz24) = pi2raiz2

Resposta

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