Beleza, vamos resolver a integral usando o cálculo de resíduos. Esse tipo de integral envolve funções racionais e integrais impróprias, então vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especificamente o teorema dos resíduos. Vamos precisar identificar os polos da função no plano complexo e calcular seus resíduos para encontrar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos estender a função para o plano complexo: . Para aplicar o cálculo de resíduos, precisamos encontrar os polos de , ou seja, os valores de que fazem o denominador zero.
Passo 3
Vamos resolver :
Assim, os polos são:
Esses são os quatro polos simples da função .
Passo 4
Como a integral é de 0 a , podemos considerar um caminho de integração que vai do 0 ao no eixo real, depois uma semicircunferência no semiplano superior, e de volta a 0. Conforme , a contribuição da semicircunferência tende a zero.
Passo 5
Aplicando o teorema dos resíduos, a integral ao longo do caminho fechado é igual a vezes a soma dos resíduos dentro do semiplano superior. Os polos no semiplano superior são e .