Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral integral-infty^infty 1(x^2+a^2)(x^2+b^2) d x, a>0, b>0.
Resposta: pia b(a+b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral que vai de menos infinito a mais infinito, do tipo , onde e são números positivos. Para resolver isso, vamos utilizar o Cálculo de Resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Precisamos entender como encontrar os resíduos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno e como o Cálculo de Resíduos nos ajuda a resolver integrais no eixo real usando funções complexas. A ideia é estender a função real para o plano complexo e escolher um caminho (contorno) que envolva os polos da função.

Passo 3

Nossa função é . Precisamos identificar os pontos singulares ou polos dessa função, que são os valores de que fazem o denominador zero. Resolvendo e , encontramos os polos em e .

Passo 4

Como vamos calcular a integral ao longo do eixo real de a , vamos fechar o contorno no semiplano superior do complexo, adicionando um arco que vai para o infinito. Dessa forma, somente os polos na parte superior do plano complexo contribuirão para o cálculo da integral.

Passo 5

Os polos no semiplano superior são Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0)f(z) e . Agora, precisamos calcular os resíduos dessas funções nesses pontos. O resíduo de uma função em um polo simples é dado por:
Vamos aplicar isso para cada polo.

Passo 6

Para Res(f, ai) = limz to ai z - ai(z^2 + a^2)(z^2 + b^2) = 12ai ( -a^2 + b^2) = 12ai (b^2 - a^2) :
Res(f, ai) = 12ai (b^2 - a^2)
Simplificando, temos:

Passo 7

Para Res(f, bi) = limz to bi z - bi(z^2 + a^2)(z^2 + b^2) = 12bi ( -b^2 + a^2) = 12bi (a^2 - b^2) :
Res(f, bi) = 12bi (a^2 - b^2)
Simplificando, temos:

Passo 8

Agora, somamos os resíduos encontrados:
Res(f, ai) + Res(f, bi) = 12ai (b^2 - a^2) + 12bi (a^2 - b^2) = 12ai (b^2 - a^2) - 12bi (b^2 - a^2)
Colocando em evidência:
= 12(b^2 - a^2) ( 1ai - 1bi ) = 12(b^2 - a^2) ( b - aabi ) = b - a2ab i (b^2 - a^2)
Simplificando mais:
= b - a2ab i (b - a)(b + a) = 12ab i (b + a)

Passo 9

Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
integral-infty^infty f(x) dx = 2pi i times (soma dos resíduos no semiplano superior) í
Substituindo o valor da soma dos resíduos:
integral-infty^infty 1(x^2 + a^2)(x^2 + b^2) dx = 2pi i times 12ab i (a + b) = piab (a + b)

Resposta

A integral vale .

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