Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral .
Resposta: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral que vai de menos infinito a mais infinito, do tipo , onde e são números positivos. Para resolver isso, vamos utilizar o Cálculo de Resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Precisamos entender como encontrar os resíduos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno e como o Cálculo de Resíduos nos ajuda a resolver integrais no eixo real usando funções complexas. A ideia é estender a função real para o plano complexo e escolher um caminho (contorno) que envolva os polos da função.

Passo 3

Nossa função é . Precisamos identificar os pontos singulares ou polos dessa função, que são os valores de que fazem o denominador zero. Resolvendo e , encontramos os polos em e .

Passo 4

Como vamos calcular a integral ao longo do eixo real de a , vamos fechar o contorno no semiplano superior do complexo, adicionando um arco que vai para o infinito. Dessa forma, somente os polos na parte superior do plano complexo contribuirão para o cálculo da integral.

Passo 5

Os polos no semiplano superior são e . Agora, precisamos calcular os resíduos dessas funções nesses pontos. O resíduo de uma função em um polo simples é dado por:
Vamos aplicar isso para cada polo.

Passo 6

Para :
Simplificando, temos:

Passo 7

Para :
Simplificando, temos:

Passo 8

Agora, somamos os resíduos encontrados:
Colocando em evidência:
Simplificando mais:

Passo 9

Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
í
Substituindo o valor da soma dos resíduos:

Resposta

A integral vale .

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R.
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .

R.
A seguir, você irá calcular , onde está delimitado pelo paraboloide , pelo cilindro e pelo plano . Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.