Usando o cálculo de resíduos, calcular a integral
.
Resposta:
.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular uma integral que vai de menos infinito a mais infinito, do tipo
, onde
e
são números positivos. Para resolver isso, vamos utilizar o Cálculo de Resíduos, que faz parte da matéria de Análise Complexa. Precisamos entender como encontrar os resíduos da função e aplicar o Teorema dos Resíduos para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de contorno e como o Cálculo de Resíduos nos ajuda a resolver integrais no eixo real usando funções complexas. A ideia é estender a função real para o plano complexo e escolher um caminho (contorno) que envolva os polos da função.
Passo 3
Nossa função é
. Precisamos identificar os pontos singulares ou polos dessa função, que são os valores de
que fazem o denominador zero. Resolvendo
e
, encontramos os polos em
e
.
Passo 4
Como vamos calcular a integral ao longo do eixo real de
a
, vamos fechar o contorno no semiplano superior do complexo, adicionando um arco que vai para o infinito. Dessa forma, somente os polos na parte superior do plano complexo contribuirão para o cálculo da integral.
Passo 5
Os polos no semiplano superior são
e
. Agora, precisamos calcular os resíduos dessas funções nesses pontos. O resíduo de uma função em um polo simples
é dado por:
Vamos aplicar isso para cada polo.
Passo 6
Para
:
Simplificando, temos:
Passo 7
Para
:
Simplificando, temos:
Passo 8
Agora, somamos os resíduos encontrados:
Colocando em evidência:
Simplificando mais:
Passo 9
Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
Substituindo o valor da soma dos resíduos:
Resposta
A integral vale
.
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R.
A seguir, você irá calcular
, onde
está delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso:
b) (1,0 ponto) Calcule .
b) (1,0 ponto) Calcule
R.
A seguir, você irá calcular
, onde
está delimitado pelo paraboloide
, pelo cilindro
e pelo plano
. Para isso:
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido no espaço tridimensional e escreva a integral dada com os limites de integração em coordenadas cilíndricas.
a) ( 1,5 ponto) Represente o sólido