3/(x^4 + ln(x))

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a expressão . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em Derivadas. Pra resolver isso, a gente precisa saber como derivar funções que são frações e entender como aplicar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa função. Vamos chamar de a função que queremos derivar:
Aqui, temos uma função que é uma constante dividida por outra função que envolve e o logaritmo natural de .

Passo 3

Para derivar em relação a , vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma , sua derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • Derivada de :
Porque a derivada de uma constante é zero.
  • Derivada de :
Aqui usamos a regra da potência para e a derivada do logaritmo natural que é .

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente com as derivadas que encontramos:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Vamos distribuir o -3 no numerador:
Podemos também escrever de forma mais agradável:

Resposta

A derivada da função em relação a é:

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