Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de
quando
vai para mais infinito. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente limites e a expansão da função exponencial. Vamos precisar entender como a função
se comporta quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
tende ao infinito. Quando
fica gigante,
fica bem pequenininho, ou seja, está perto de zero. Então, podemos usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial em torno de zero. Isso ajuda a simplificar a expressão.
Passo 3
A série de Taylor para
em torno de
é:
Aqui, vamos substituir
por
, já que queremos a expansão de
.
Passo 4
Substituindo
na série, temos:
Isso nos dá uma maneira de aproximar
quando
é muito grande.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Subtraindo 1, eliminamos o primeiro termo constante da série.
Passo 6
Multiplicando os dois lados por
, temos:
Aqui, distribuímos
para cada termo dentro dos parênteses.
Passo 7
Vamos analisar o comportamento de cada termo quando
vai para mais infinito:
-
cresce para infinito. -
é uma constante e permanece . -
tende a zero. - Os termos seguintes, como
, também tendem a zero.
Como o termo dominante é
que vai para infinito, os outros termos são insignificantes nesse limite.
Resposta
Portanto, o limite
é
.