lim x +infty x^2(e^1 / x-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando vai para mais infinito. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente limites e a expansão da função exponencial. Vamos precisar entender como a função se comporta quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando tende ao infinito. Quando fica gigante, fica bem pequenininho, ou seja, está perto de zero. Então, podemos usar a expansão em série de Taylor para a função exponencial em torno de zero. Isso ajuda a simplificar a expressão.

Passo 3

A série de Taylor para e^h = 1 + h + h^22! + h^33! + dots em torno de é:
Aqui, vamos substituir por , já que queremos a expansão de .

Passo 4

Substituindo e^1/x = 1 + 1x + 12x^2 + 16x^3 + dots na série, temos:
Isso nos dá uma maneira de aproximar quando é muito grande.

Passo 5

Agora, vamos calcular e^1/x - 1 = 1x + 12x^2 + 16x^3 + dots :
Subtraindo 1, eliminamos o primeiro termo constante da série.

Passo 6

Multiplicando os dois lados por x^2(e^1/x - 1) = x^2( 1x + 12x^2 + 16x^3 + dots ) = x + 12 + 16x + dots , temos:
Aqui, distribuímos para cada termo dentro dos parênteses.

Passo 7

Vamos analisar o comportamento de cada termo quando vai para mais infinito:
  • cresce para infinito.
  • é uma constante e permanece .
  • tende a zero.
  • Os termos seguintes, como , também tendem a zero.
Como o termo dominante é que vai para infinito, os outros termos são insignificantes nesse limite.

Resposta

Portanto, o limite é .

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