Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Isso envolve limites, funções hiperbólicas (
) e funções trigonométricas (
). Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Agora, nosso limite fica:
Passo 4
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Agora, o limite fica:
Passo 6
Substituindo
:
Resposta
O limite é
.