lim x 0 cosh x-11-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve limites, funções hiperbólicas ( ) e funções trigonométricas ( ). Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos cosh 0 - 11 - cos 0 = 1 - 11 - 1 = 00 na expressão:
Como obtemos uma forma indeterminada , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador ddx (cosh x - 1) = sinh x :
ddx (1 - cos x) = sin x
  • Derivada do denominador limx 0 sinh xsin x :
Agora, nosso limite fica:

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo sinh 0sin 0 = 00 :
Ainda temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
  • Derivada de ddx (sinh x) = cosh x :
ddx (sin x) = cos x
  • Derivada de limx 0 cosh xcos x :
Agora, o limite fica:

Passo 6

Substituindo cosh 0cos 0 = 11 = 1 :

Resposta

O limite é .

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