[4.0] Calcular a integral integral dupla(S) y d y d x passando as coordenadas polares, onde o campo S é um semicírculo de raio R=1, com centro na origem das coordenadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla usando coordenadas polares. O campo é um semicírculo com raio e centro na origem. Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado e coordenadas polares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como mudar das coordenadas cartesianas para as polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por x = r cos theta e y = r sin theta (a distância da origem) e (o ângulo com o eixo positivo do x). As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em . Isso porque ao trocar as coordenadas, precisamos considerar a escala que muda com .

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração. Como integral duplaS y , dy , dx = integral0^pi integral0^1 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta é um semicírculo de raio 1, vai de 0 até 1. O ângulo varia de 0 até (180 graus) para cobrir o semicírculo superior. Então, a integral em coordenadas polares fica:
Aqui, substituímos por e por .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 r^2 , dr :
r^33 |0^1 = 1^33 - 0^33 = 13
A antiderivada de é , então avaliando de 0 a 1:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral externa em relação a 13 integral0^pi sin theta , dtheta :
13 [ -cos theta ]0^pi = 13 ( -cos pi + cos 0 ) = 13 ( -(-1) + 1 ) = 13 (2) = 23
A antiderivada de é , então:

Resposta

O valor da integral é .

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