[4.0] Calcular a integral passando as coordenadas polares, onde o campo é um semicírculo de raio , com centro na origem das coordenadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla usando coordenadas polares. O campo é um semicírculo com raio e centro na origem. Vamos utilizar conceitos de cálculo multivariado e coordenadas polares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como mudar das coordenadas cartesianas para as polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto é representado por (a distância da origem) e (o ângulo com o eixo positivo do x). As relações de conversão são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares se transforma em . Isso porque ao trocar as coordenadas, precisamos considerar a escala que muda com .
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração. Como é um semicírculo de raio 1, vai de 0 até 1. O ângulo varia de 0 até (180 graus) para cobrir o semicírculo superior. Então, a integral em coordenadas polares fica:
Aqui, substituímos por e por .
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
A antiderivada de é , então avaliando de 0 a 1:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral externa em relação a :