O barco de massa
e velocidade inicial
é freado pela força resistiva dada por
, onde
e
são constantes positivas com dimensões apropriadas.
A distância percorrida pelo barco até parar.
A distância percorrida pelo barco até parar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um barco com massa
e velocidade inicial
que está sendo freado por uma força resistiva dada por
. O que a gente quer descobrir é a distância que o barco percorre até parar. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica (leis de Newton) e cálculo (integração), já que precisamos relacionar força, velocidade e distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa multiplicada pela aceleração:
Como a força resistiva está agindo para desacelerar o barco, a aceleração é negativa e podemos escrever:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a velocidade como função do tempo. Para isso, separamos as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 6
Simplificando as integrais, começamos com a esquerda:
E a integral do lado direito:
Igualando as duas expressões:
Passo 7
Vamos resolver para a constante
usando a condição inicial. Quando
,
:
Passo 8
Substituindo o valor de
na equação anterior:
Passo 9
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Passo 10
Agora, queremos saber a distância percorrida até o barco parar, ou seja, quando
. Substituindo
:
Passo 11
Resolvendo para
:
Passo 12
Agora que temos o tempo até parar, vamos encontrar a distância percorrida. Sabemos que:
Mas já que encontramos
Passo 13
Voltando à equação da velocidade:
Resolvendo para
Passo 14
Integrando a velocidade em relação ao tempo para obter a distância:
Esse cálculo envolve técnicas de integração mais avançadas, mas o resultado final após integrar é:
Resposta
A distância percorrida pelo barco até parar é:
Exercícios relacionados
Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.
Determine a velocidade em função do tempo.
Use a regra da cadeia para expressar
. Depois calcule o valor no ponto dado
[4.0] Calcular a integral
passando as coordenadas polares, onde o campo
é um semicírculo de raio
, com centro na origem das coordenadas.
Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha soluções dadas:
e -e^