O barco de massa m e velocidade inicial v0 é freado pela força resistiva dada por F(v) = -b e^(α v), onde alpha e b são constantes positivas com dimensões apropriadas.
A distância percorrida pelo barco até parar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um barco com massa m e velocidade inicial v0 que está sendo freado por uma força resistiva dada por . O que a gente quer descobrir é a distância que o barco percorre até parar. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica (leis de Newton) e cálculo (integração), já que precisamos relacionar força, velocidade e distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à sua massa multiplicada pela aceleração:

Como a força resistiva está agindo para desacelerar o barco, a aceleração é negativa e podemos escrever:

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis v e t. Dividimos ambos os lados por m:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a velocidade como função do tempo. Para isso, separamos as variáveis v e t:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a v e do lado direito em relação a t:

Passo 6

Simplificando as integrais, começamos com a esquerda:

E a integral do lado direito:
Igualando as duas expressões:

Passo 7

Vamos resolver para a constante C usando a condição inicial. Quando , :

Passo 8

Substituindo o valor de C na equação anterior:

Passo 9

Multiplicando toda a equação por para simplificar:

Passo 10

Agora, queremos saber a distância percorrida até o barco parar, ou seja, quando . Substituindo :

Passo 11

Resolvendo para t:

Passo 12

Agora que temos o tempo até parar, vamos encontrar a distância percorrida. Sabemos que:
â
Mas já que encontramos t, podemos usar a relação entre velocidade e tempo para integrar.

Passo 13

Voltando à equação da velocidade:

Resolvendo para v:

Passo 14

Integrando a velocidade em relação ao tempo para obter a distância:
â
Esse cálculo envolve técnicas de integração mais avançadas, mas o resultado final após integrar é:

Resposta

A distância percorrida pelo barco até parar é:
â

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