Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha soluções dadas:
e -e^
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha como soluções as funções
,
e
. Isso significa que precisamos achar uma equação onde essas funções são soluções válidas. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes e a relação das soluções com a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada solução nos diz sobre a equação característica:
-
: Essa é uma solução constante. Em termos de equações diferenciais, uma solução constante corresponde a uma raiz na equação característica. -
: Essa é uma solução linear. Quando temos uma solução do tipo , isso indica que a raiz tem multiplicidade maior que 1. No caso de , isso sugere que é uma raiz dupla. -
: Essa é uma solução exponencial. Ela corresponde a uma raiz na equação característica.
Então, resumindo, nossas raízes são
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 3
Agora, vamos construir a equação característica usando essas raízes. A equação característica de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes é um polinômio cujas raízes são os valores de
que encontramos.
Para as raízes
(dupla) e
, a equação característica fica:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a equação característica, podemos encontrar a equação diferencial correspondente. A equação diferencial pode ser obtida substituindo
por
, onde
representa a derivada em relação a
. Então, a equação diferencial é dada por:
Multiplicando os termos:
Em termos de derivadas, isso fica:
Resposta
A equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tem as soluções
,
e
é:
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e
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