Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha soluções dadas: e -e^

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha como soluções as funções , e . Isso significa que precisamos achar uma equação onde essas funções são soluções válidas. Para resolver isso, vamos usar a teoria das equações diferenciais com coeficientes constantes e a relação das soluções com a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada solução nos diz sobre a equação característica:
  1. : Essa é uma solução constante. Em termos de equações diferenciais, uma solução constante corresponde a uma raiz na equação característica.
  2. : Essa é uma solução linear. Quando temos uma solução do tipo , isso indica que a raiz tem multiplicidade maior que 1. No caso de , isso sugere que é uma raiz dupla.
  3. : Essa é uma solução exponencial. Ela corresponde a uma raiz na equação característica.
Então, resumindo, nossas raízes são (com multiplicidade 2) e .

Passo 3

Agora, vamos construir a equação característica usando essas raízes. A equação característica de uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes é um polinômio cujas raízes são os valores de que encontramos.
Para as raízes (dupla) e , a equação característica fica:
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos a equação característica, podemos encontrar a equação diferencial correspondente. A equação diferencial pode ser obtida substituindo por , onde representa a derivada em relação a . Então, a equação diferencial é dada por:
Multiplicando os termos:
Em termos de derivadas, isso fica:

Resposta

A equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tem as soluções , e é:

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