Considere que um paraquedista de massa
é solto no instante
velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo
. Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.
Determine a velocidade em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um paraquedista que salta de avião e começa a cair. Ele tem uma massa
e, ao cair, está sujeito a duas forças: a força da gravidade puxando pra baixo e a força de atrito do ar, que depende da velocidade. Nosso objetivo é encontrar como a velocidade dele muda com o tempo, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. A força da gravidade é
, onde
é a aceleração da gravidade. A força de arrasto do ar é dada por
. O sinal da força de arrasto depende da direção da velocidade. Como o paraquedista está caindo pra baixo, a força de arrasto sobe (contra a direção da queda), então
.
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton, temos que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui,
é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, temos uma equação que podemos integrar para encontrar
.
Passo 5
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar o método de frações parciais. Vamos integrar:
Essa integral resulta em uma função que envolve o arco tangente ou arco hiperbolico, dependendo da forma.
Passo 6
Após resolver a integral, obtemos:
Onde
é a função tangente hiperbólica, que descreve como a velocidade se aproxima de um valor terminal conforme o tempo aumenta.
Resposta
A velocidade do paraquedista em função do tempo é:
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Use a regra da cadeia para expressar
. Depois calcule o valor no ponto dado
O bloco de massa
escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva
sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade
.
Encontre e
.
Encontre
O barco de massa
e velocidade inicial
é freado pela força resistiva dada por
, onde
e
são constantes positivas com dimensões apropriadas.
A distância percorrida pelo barco até parar.
A distância percorrida pelo barco até parar.
[4.0] Calcular a integral
passando as coordenadas polares, onde o campo
é um semicírculo de raio
, com centro na origem das coordenadas.