Considere que um paraquedista de massa é solto no instante velocidade inicial nula e cai na direção vertical sob a ação da força gravitacional e da força de atrito do tipo . Dica: observe o sinal da velocidade para definir o sinal da força. Dica: o método de frações parciais é útil para esse caso.
Determine a velocidade em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um paraquedista que salta de avião e começa a cair. Ele tem uma massa e, ao cair, está sujeito a duas forças: a força da gravidade puxando pra baixo e a força de atrito do ar, que depende da velocidade. Nosso objetivo é encontrar como a velocidade dele muda com o tempo, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas. A força da gravidade é , onde é a aceleração da gravidade. A força de arrasto do ar é dada por . O sinal da força de arrasto depende da direção da velocidade. Como o paraquedista está caindo pra baixo, a força de arrasto sobe (contra a direção da queda), então .

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton, temos que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui, é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a aceleração.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, temos uma equação que podemos integrar para encontrar .

Passo 5

Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos usar o método de frações parciais. Vamos integrar:
Essa integral resulta em uma função que envolve o arco tangente ou arco hiperbolico, dependendo da forma.

Passo 6

Após resolver a integral, obtemos:
Onde é a função tangente hiperbólica, que descreve como a velocidade se aproxima de um valor terminal conforme o tempo aumenta.

Resposta

A velocidade do paraquedista em função do tempo é:

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Use a regra da cadeia para expressar . Depois calcule o valor no ponto dado
O bloco de massa escorrega sobre uma superfície horizontal plana lubrificada com óleo. Nesta superfície, o bloco sofre uma força resistiva sendo uma constante positiva. Se o bloco estava inicialmente com uma velocidade .
Encontre e .
O barco de massa e velocidade inicial é freado pela força resistiva dada por , onde e são constantes positivas com dimensões apropriadas.
A distância percorrida pelo barco até parar.
[4.0] Calcular a integral passando as coordenadas polares, onde o campo é um semicírculo de raio , com centro na origem das coordenadas.