[4.0] Calcular o volume do corpo limitado pelos planos coordenados e pelo plano

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do corpo limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano . Isso está relacionado à geometria espacial, especificamente ao cálculo de volumes usando integrais ou fórmulas geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como esses planos se interceptam e formar uma figura conhecida, além de aplicar conceitos de cálculo de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que acontece quando esses planos se encontram. Os planos coordenados são os planos x=0 (plano YZ), y=0 (plano XZ) e z=0 (plano XY). O plano corta esses três planos coordenados. Para encontrar os pontos onde o plano intercepta cada eixo, basta fixar duas coordenadas como zero:
  • Quando y = 0 e z = 0: → ponto (4, 0, 0)
  • Quando x = 0 e z = 0: → ponto (0, 4, 0)
  • Quando x = 0 e y = 0: → ponto (0, 0, 4)
Esses três pontos formam um triângulo no espaço, e o corpo limitado por esses planos será um tetraedro.

Passo 3

Agora que sabemos que o corpo é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4), podemos usar a fórmula para o volume de um tetraedro. A fórmula geral para o volume de um tetraedro com vértices em , , e é:

Passo 4

Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde , e :

Passo 5

Calculando os valores:

Resposta

O volume do corpo limitado pelos planos coordenados e pelo plano é unidades cúbicas, aproximadamente 10,67 unidades³.

Exercícios relacionados

Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha soluções dadas: e -e^
[4.0] Calcular a integral passando as coordenadas polares, onde o campo é um semicírculo de raio , com centro na origem das coordenadas.
Sabendo quê as raízes da equação característica são m1=-1/2, m2=3+i , m3=3-i escrever a equação diferencial associada
Calcule: