[4.0] Calcular o volume do corpo limitado pelos planos coordenados e pelo plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume do corpo limitado pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano
. Isso está relacionado à geometria espacial, especificamente ao cálculo de volumes usando integrais ou fórmulas geométricas. Para resolver, vamos precisar entender como esses planos se interceptam e formar uma figura conhecida, além de aplicar conceitos de cálculo de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que acontece quando esses planos se encontram. Os planos coordenados são os planos x=0 (plano YZ), y=0 (plano XZ) e z=0 (plano XY). O plano
corta esses três planos coordenados. Para encontrar os pontos onde o plano
intercepta cada eixo, basta fixar duas coordenadas como zero:
- Quando y = 0 e z = 0:
→ ponto (4, 0, 0) - Quando x = 0 e z = 0:
→ ponto (0, 4, 0) - Quando x = 0 e y = 0:
→ ponto (0, 0, 4)
Esses três pontos formam um triângulo no espaço, e o corpo limitado por esses planos será um tetraedro.
Passo 3
Agora que sabemos que o corpo é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (4,0,0), (0,4,0) e (0,0,4), podemos usar a fórmula para o volume de um tetraedro. A fórmula geral para o volume
de um tetraedro com vértices em
,
,
e
é:
Passo 4
Aplicando essa fórmula ao nosso caso, onde
,
e
:
Passo 5
Calculando os valores:
Resposta
O volume do corpo limitado pelos planos coordenados e pelo plano
é
unidades cúbicas, aproximadamente 10,67 unidades³.
Exercícios relacionados
Determine uma equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que tenha soluções dadas:
e -e^
[4.0] Calcular a integral
passando as coordenadas polares, onde o campo
é um semicírculo de raio
, com centro na origem das coordenadas.
Sabendo quê as raízes da equação característica são m1=-1/2, m2=3+i , m3=3-i escrever a equação diferencial associada
Calcule: