Sabendo quê as raízes da equação característica são m1=-1/2, m2=3+i , m3=3-i escrever a equação diferencial associada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação característica com três raízes:
,
e
. Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essas raízes. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e conceitos sobre equações características. Precisamos entender como transformar as raízes da equação característica em uma equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para cada raiz da equação característica, a gente tem um fator correspondente no polinômio característico. Se a raiz for real, dizemos que ela tem a forma
. Se for complexa, como
e
, as raízes vêm em pares conjugados e o fator correspondente é
, onde
é a parte real e
a imaginária.
Passo 3
Vamos montar o polinômio característico usando as raízes fornecidas:
-
Para
, o fator é . -
Para as raízes complexas
e , o fator é .
Agora, vamos multiplicar os fatores das raízes complexas:
Passo 4
Agora, juntamos todos os fatores para formar o polinômio característico completo:
Vamos multiplicar isso para obter a equação característica na forma polinomial:
Passo 5
A equação diferencial associada a esse polinômio característico é obtida substituindo
por
(onde
representa a derivada em relação a
) e igualando a zero:
Para deixar a equação com coeficientes inteiros, multiplicamos todos os termos por 2:
Resposta
A equação diferencial associada é:
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e -e^
Calcule:
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em potências de
até ao termo que tiver