Sabendo quê as raízes da equação característica são m1=-1/2, m2=3+i , m3=3-i escrever a equação diferencial associada

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação característica com três raízes: , e . Nosso objetivo é encontrar a equação diferencial associada a essas raízes. Para isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais lineares de coeficientes constantes e conceitos sobre equações características. Precisamos entender como transformar as raízes da equação característica em uma equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para cada raiz da equação característica, a gente tem um fator correspondente no polinômio característico. Se a raiz for real, dizemos que ela tem a forma . Se for complexa, como e , as raízes vêm em pares conjugados e o fator correspondente é , onde é a parte real e a imaginária.

Passo 3

Vamos montar o polinômio característico usando as raízes fornecidas:
  1. Para , o fator é .
  2. Para as raízes complexas e , o fator é .
Agora, vamos multiplicar os fatores das raízes complexas:

Passo 4

Agora, juntamos todos os fatores para formar o polinômio característico completo:
Vamos multiplicar isso para obter a equação característica na forma polinomial:

Passo 5

A equação diferencial associada a esse polinômio característico é obtida substituindo por (onde representa a derivada em relação a ) e igualando a zero:
Para deixar a equação com coeficientes inteiros, multiplicamos todos os termos por 2:

Resposta

A equação diferencial associada é:

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