[4.0] A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é rho = k * raiz(x^2 + y^2). Determine a massa da lâmina, com centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina com formato semicircular, e a densidade em cada ponto dessa lâmina é dada por . O centro da lâmina está na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa lâmina. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, já que estamos lidando com uma área bidimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a lâmina semicircular. Como o centro está na origem e é um semicírculo, podemos considerar que ele está no semiplano superior, ou seja, . A equação de um círculo com raio centrado na origem é , então nosso semicírculo será a região onde para .
Como queremos calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre toda a área da lâmina. Em termos matemáticos, a massa é dada por:
Substituindo a densidade dada:

Passo 3

Para facilitar a integração, é conveniente mudar para coordenadas polares, onde e . Em coordenadas polares, , e o elemento de área se transforma em .
Nosso semicírculo em coordenadas polares vai de a (já que é semicircular) e de a .
Substituindo na integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, substituímos de volta na integral em :

Resposta

A massa da lâmina semicircular é .

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