[4.0] A densidade em qualquer ponto de uma lâmina semicircular é
. Determine a massa da lâmina, com centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina com formato semicircular, e a densidade em cada ponto dessa lâmina é dada por
. O centro da lâmina está na origem do sistema de coordenadas. Nosso objetivo aqui é calcular a massa total dessa lâmina. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas, já que estamos lidando com uma área bidimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a lâmina semicircular. Como o centro está na origem e é um semicírculo, podemos considerar que ele está no semiplano superior, ou seja,
. A equação de um círculo com raio
centrado na origem é
, então nosso semicírculo será a região onde
para
.
Como queremos calcular a massa, precisamos integrar a densidade
sobre toda a área da lâmina. Em termos matemáticos, a massa
é dada por:
Substituindo a densidade dada:
Passo 3
Para facilitar a integração, é conveniente mudar para coordenadas polares, onde
e
. Em coordenadas polares,
, e o elemento de área
se transforma em
.
Nosso semicírculo em coordenadas polares vai de
a
(já que é semicircular) e de
a
.
Substituindo na integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Resposta
A massa da lâmina semicircular é
.