[4.0] Determine o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (x+2)^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita .
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas com termos envolvendo elevado a diferentes potências. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série an+1an = (x+2)^n+1n+1(x+2)^nn = (x+2)^n+1 cdot n(x+2)^n cdot (n+1) = (x+2) cdot nn+1 , se lim de = L, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite conforme limn to infty |(x+2)| cdot |nn+1| = |x+2| cdot limn to infty nn+1 = |x+2| cdot 1 = |x+2| vai para infinito:
|x+2| < 1
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
|x+2| < 1 implies -1 < x + 2 < 1
Subtraindo 2 em todas as partes:
-3 < x < -1
Então, o intervalo aberto é .

Passo 5

O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade . Aqui, vimos que .

Passo 6

Agora, precisamos verificar as pontas do intervalo para ver se a série converge nesses pontos ( sumn=1^infty (-3+2)^nn = sumn=1^infty (-1)^nn e sumn=1^infty (-1+2)^nn = sumn=1^infty 1^nn = sumn=1^infty 1n ).
  • Para :
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Alternância.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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