[4.0] Determine o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita .
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas com termos envolvendo elevado a diferentes potências. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que nos ajuda a determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se lim de = L, então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite conforme vai para infinito:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Subtraindo 2 em todas as partes:
Então, o intervalo aberto é .
Passo 5
O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade . Aqui, vimos que .
Passo 6
Agora, precisamos verificar as pontas do intervalo para ver se a série converge nesses pontos ( e ).
Para :
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Alternância.
Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .