[4.0] Determine o raio e o intervalo de convergência da série

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série infinita .
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas com termos envolvendo elevado a diferentes potências. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão (ou Teste de Cauchy), que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para a série , se lim de = L, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite conforme vai para infinito:
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar o intervalo de convergência:
Subtraindo 2 em todas as partes:
Então, o intervalo aberto é .

Passo 5

O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade . Aqui, vimos que .

Passo 6

Agora, precisamos verificar as pontas do intervalo para ver se a série converge nesses pontos ( e ).
  • Para :
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Alternância.
  • Para :
Essa é a série harmônica, que diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Calcule:
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Considere a função .
Encontre a(s) imagem(ns) , o intercepto de com o eixo e faça um esboço do seu gráfico.