Calcule as respectivas derivadas: f(x)=integral0^cos x e^t^2+2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra de Leibniz. Ela nos diz que se temos uma função definida por uma integral cuja limite superior (ou inferior) é uma função de ddx ( integrala^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) , a derivada dessa função em relação a é igual à função integranda avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite. Em fórmula:

Passo 3

No nosso caso, a integral é de 0 até f'(x) = e^(cos x)^2 + 2 cos x cdot ddx (cos x) . Então, aplicando a regra:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de f'(x) = e^(cos x)^2 + 2 cos x cdot (-sin x) em relação a , que é . Substituindo isso na expressão:

Resposta

f'(x) = -e^(cos x)^2 + 2 cos x cdot sin x

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