Considere a função f(x) = 3*x^4 + 4*x^3 - 12*x^2 + 1.
Determine o(s) valor(es) x_0 tais que f'(x0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar os valores de onde a derivada dessa função, , é igual a zero. Isso está relacionado ao estudo de derivadas, que é uma parte importante do Cálculo. Vamos precisar saber como derivar funções polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da tangente à curva naquele ponto, e quando ela é zero, significa que a curva tem um ponto horizontal (pico ou vale). Para derivar , usamos a regra do poder: a derivada de é .
Então, aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. (a derivada de uma constante é zero)
Assim, juntando tudo:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de onde . Então, colocamos a derivada igual a zero:
Para resolver essa equação, vamos fatorar os termos em comum.

Passo 5

Primeiro, vamos fatorar um de todos os termos:
Isso nos dá duas partes para igualar a zero:
Vamos resolver a segunda equação quadrática agora.

Passo 6

Para resolver , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Portanto, temos duas soluções:

Resposta

Os valores de são , e .

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