[4.0] Desenvolver a função
em potências de
até ao termo que tiver
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função
em potências de
até o termo que tiver
. Isso faz parte do estudo das séries de potências, especificamente a série de Taylor, que nos permite aproximar funções usando potências de
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a série de Taylor para a função
em torno de
(também chamada de série de Maclaurin) é uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de
e os seus respectivos coeficientes. A fórmula geral da série de Taylor para
é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de
divididas pelo fatorial do expoente.
Passo 3
Como o exercício pede até o termo
, vamos expandir a série até esse ponto:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, juntando os termos que calculamos, temos a expansão de
até
:
Resposta
A expansão da função
em potências de
até o termo
é:
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