[4.0] Desenvolver a função em potências de até ao termo que tiver

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para desenvolver a função em potências de até o termo que tiver . Isso faz parte do estudo das séries de potências, especificamente a série de Taylor, que nos permite aproximar funções usando potências de .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a série de Taylor para a função em torno de (também chamada de série de Maclaurin) é uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de e os seus respectivos coeficientes. A fórmula geral da série de Taylor para é:
Isso significa que cada termo da série alterna de sinal e envolve potências ímpares de divididas pelo fatorial do expoente.

Passo 3

Como o exercício pede até o termo , vamos expandir a série até esse ponto:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 4

Agora, juntando os termos que calculamos, temos a expansão de até :

Resposta

A expansão da função em potências de até o termo é:

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