Calcule: integral x(x+2)^13 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos calcular a integral de em relação a . Para isso, vamos usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma mudança de variável para facilitar a integral. Vamos definir:
u = x + 2
Aí, a derivada de du = dx em relação a é:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, precisamos expressar x = u - 2 em termos de integral x(x+2)^13 dx = integral (u - 2)u^13 du . Já que , podemos reescrever como:
Substituindo isso na integral original, temos:

Passo 4

Vamos distribuir integral (u cdot u^13 - 2 cdot u^13) du = integral u^43 - 2u^13 du dentro do parêntese:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente usando a regra da potência para integrais, que diz que:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso aos termos:
integral u^43 du = u^7373 = 37u^73
integral 2u^13 du = 2 cdot u^4343 = 64u^43 = 32u^43

Passo 6

Juntando tudo, a integral fica:
37u^73 - 32u^43 + C
Agora, substituímos 37(x+2)^73 - 32(x+2)^43 + C de volta:

Resposta

37(x+2)^73 - 32(x+2)^43 + C

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