A
scale model of an airplane is to be tested in a flow regime where unsteady flow effects are important. If the full-scale vehicle experiences the unsteady effects at a Mach number of 1 at an altitude of 40000 ft , what pressure must the model be tested at to produce an equal Reynolds number? The model is to be tested in air at
. What will the time scale of the flow about the model be relative to the full-scale vehicle?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de avião com escala de 40% do tamanho real que será testado em um regime de escoamento onde efeitos não estacionários (unsteady flow) são importantes. No veículo real, esses efeitos ocorrem quando o número de Mach é 1, a uma altitude de 40.000 pés. Queremos descobrir qual a pressão que o modelo precisa para ter o mesmo número de Reynolds que o veículo em escala real. Além disso, precisamos determinar como o tempo de escoamento ao redor do modelo se relaciona com o tempo do veículo real. Vamos precisar usar conceitos de escala geométrica, números adimensionais como Reynolds e Mach, e relações de similaridade.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é o número de Reynolds (Re). Ele é uma grandeza adimensional que relaciona as forças de inércia com as forças viscosas no escoamento. A fórmula é:
onde:
-
é a densidade do fluido, -
é a velocidade característica, -
é o comprimento característico, -
é a viscosidade dinâmica.
Para que o modelo e o veículo real tenham o mesmo número de Reynolds, precisamos garantir que essa relação seja mantida entre as duas escalas.
Passo 3
Sabemos que o modelo tem 40% do tamanho do real, ou seja, a escala linear
. Queremos que
. Vamos expressar isso:
Como
, substituímos e rearranjamos para encontrar a relação entre as presões e, consequentemente, as velocidades.
Passo 4
Vamos assumir que o fluido é o ar em ambos os casos, mas com diferentes condições de pressão e temperatura. A densidade do ar pode ser relacionada à pressão e temperatura pela equação dos gases ideais:
onde
é a constante específica do ar e
é a temperatura absoluta.
Dado que o modelo será testado a 70°F, vamos converter essa temperatura para Kelvin:
A temperatura no veículo real a 40.000 pés (aproximadamente 12.192 metros) pode ser considerada como sendo cerca de -56,5°C, ou seja, aproximadamente 216,65 K.
Passo 5
Agora, queremos igualar os números de Reynolds:
Substituindo
pela equação dos gases ideais:
Assumindo que a viscosidade do ar é uma função principalmente da temperatura, podemos aproximar
, mas para simplificação, consideraremos
.
Passo 6
Rearranjando a equação para encontrar a pressão no modelo
:
Precisamos agora relacionar as velocidades. Sabemos que o número de Mach é definido como:
onde
é a velocidade do som, que depende da temperatura:
Para manter os efeitos não estacionários em escalas diferentes, as velocidades devem ser escaladas de acordo com as velocidades do som nas respectivas temperaturas.
Passo 7
Vamos calcular a velocidade do som para o modelo e para o real:
Para o real:
Para o modelo:
Como o número de Mach é 1 para o real, temos
. Queremos que o modelo também opere em Mach 1, então
.
Portanto:
Passo 8
Substituindo essa relação na equação da pressão:
Como
:
Passo 9
Agora, precisamos determinar qual é a pressão no voo real a 40.000 pés. A pressão atmosférica a essa altitude é aproximadamente 25,7 kPa.
Portanto:
Passo 10
Para encontrar a escala de tempo, usamos a relação de escala baseada nas velocidades características e nos comprimentos. A escala de tempo pode ser determinada pela razão entre o tempo característico do modelo e do real:
Sabemos que
e .
Calculando:
Isso significa que o tempo de fluxo no modelo é aproximadamente 34% do tempo no veículo real.
Resposta
A pressão necessária para testar o modelo é de aproximadamente
, e a escala de tempo do fluxo ao redor do modelo é cerca de 34% em relação ao veículo em escala real.
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onde
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(viscosidade dinâmica
), com
e
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