A 40 % scale model of an airplane is to be tested in a flow regime where unsteady flow effects are important. If the full-scale vehicle experiences the unsteady effects at a Mach number of 1 at an altitude of 40000 ft , what pressure must the model be tested at to produce an equal Reynolds number? The model is to be tested in air at 70^circ F. What will the time scale of the flow about the model be relative to the full-scale vehicle?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de avião com escala de 40% do tamanho real que será testado em um regime de escoamento onde efeitos não estacionários (unsteady flow) são importantes. No veículo real, esses efeitos ocorrem quando o número de Mach é 1, a uma altitude de 40.000 pés. Queremos descobrir qual a pressão que o modelo precisa para ter o mesmo número de Reynolds que o veículo em escala real. Além disso, precisamos determinar como o tempo de escoamento ao redor do modelo se relaciona com o tempo do veículo real. Vamos precisar usar conceitos de escala geométrica, números adimensionais como Reynolds e Mach, e relações de similaridade.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é o número de Reynolds (Re). Ele é uma grandeza adimensional que relaciona as forças de inércia com as forças viscosas no escoamento. A fórmula é:
Re = rho V Lmu
onde:
  • rho é a densidade do fluido,
  • V é a velocidade característica,
  • L é o comprimento característico,
  • mu é a viscosidade dinâmica.
Para que o modelo e o veículo real tenham o mesmo número de Reynolds, precisamos garantir que essa relação seja mantida entre as duas escalas.

Passo 3

Sabemos que o modelo tem 40% do tamanho do real, ou seja, a escala linear Lr = 0,4. Queremos que Remodelo = Rereal. Vamos expressar isso:
rhomodelo Vmodelo Lmodelomumodelo = rhoreal Vreal Lrealmureal
Como Lmodelo = 0,4 Lreal, substituímos e rearranjamos para encontrar a relação entre as presões e, consequentemente, as velocidades.

Passo 4

Vamos assumir que o fluido é o ar em ambos os casos, mas com diferentes condições de pressão e temperatura. A densidade do ar pode ser relacionada à pressão e temperatura pela equação dos gases ideais:
rho = PR T
onde R é a constante específica do ar e T é a temperatura absoluta.
Dado que o modelo será testado a 70°F, vamos converter essa temperatura para Kelvin:
Tmodelo = (70 - 32) times 59 + 273,15 approx 294,26 , K
A temperatura no veículo real a 40.000 pés (aproximadamente 12.192 metros) pode ser considerada como sendo cerca de -56,5°C, ou seja, aproximadamente 216,65 K.

Passo 5

Agora, queremos igualar os números de Reynolds:
rhomodelo Vmodelo Lmodelomumodelo = rhoreal Vreal Lrealmureal
Substituindo rho pela equação dos gases ideais:
Assumindo que a viscosidade do ar é uma função principalmente da temperatura, podemos aproximar (Pmodelo/(R Tmodelo)) Vmodelo Lmodelomumodelo = (Preal/(R Treal)) Vreal Lrealmureal , mas para simplificação, consideraremos mu propto T^3/2.

Passo 6

Rearranjando a equação para encontrar a pressão no modelo Pmodelo:
Pmodelo = Preal cdot ( VrealVmodelo ) cdot ( TmodeloTreal )^1/2 cdot Lreal/Lmodelo
Precisamos agora relacionar as velocidades. Sabemos que o número de Mach é definido como:
M = Va
onde a é a velocidade do som, que depende da temperatura:
a = raizgamma R T
Para manter os efeitos não estacionários em escalas diferentes, as velocidades devem ser escaladas de acordo com as velocidades do som nas respectivas temperaturas.

Passo 7

Vamos calcular a velocidade do som para o modelo e para o real:
Para o real:
areal = raizgamma R Treal
Para o modelo:
amodelo = raizgamma R Tmodelo
Como o número de Mach é 1 para o real, temos Vreal = areal. Queremos que o modelo também opere em Mach 1, então Vmodelo = amodelo.
Portanto:
VrealVmodelo = raizTrealraizTmodelo

Passo 8

Substituindo essa relação na equação da pressão:
Pmodelo = Preal cdot ( raizTrealraizTmodelo ) cdot ( TmodeloTreal )^1/2 cdot LrealLmodelo = Preal cdot LrealLmodelo
Como Lmodelo = 0,4 Lreal:
Pmodelo = Preal0,4 = 2,5 Preal

Passo 9

Agora, precisamos determinar qual é a pressão no voo real a 40.000 pés. A pressão atmosférica a essa altitude é aproximadamente 25,7 kPa.
Portanto:
Pmodelo = 2,5 times 25,7 , kPa = 64,25 , kPa

Passo 10

Para encontrar a escala de tempo, usamos a relação de escala baseada nas velocidades características e nos comprimentos. A escala de tempo pode ser determinada pela razão entre o tempo característico do modelo e do real:
Sabemos que tmodelotreal = Lmodelo/VmodeloLreal/Vreal = LmodeloLreal cdot VrealVmodelo e .
Calculando:
Lmodelo/Lreal = 0,4
Isso significa que o tempo de fluxo no modelo é aproximadamente 34% do tempo no veículo real.

Resposta

A pressão necessária para testar o modelo é de aproximadamente 64,25 , kPa, e a escala de tempo do fluxo ao redor do modelo é cerca de 34% em relação ao veículo em escala real.

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