A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas e dada por:
onde e a distância separando as placas; a origem esta situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de agua a (viscosidade dinâmica ), com e . Calcule a tensão de cisalhamento em módulo na placa superior.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas com uma distribuição de velocidade dada por:
Os dados fornecidos são:
Distância entre as placas,
Velocidade máxima,
Viscosidade dinâmica da água,
Vamos precisar usar conceitos de escoamento laminar e tensão de cisalhamento para encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de velocidade. A equação nos diz como a velocidade do fluido varia em função da posição entre as placas. A origem () está no meio, então a placa superior está em .
Passo 3
A tensão de cisalhamento em um ponto é dada por:
Isso significa que precisamos derivar a velocidade em relação a e depois multiplicar pela viscosidade dinâmica .
Passo 4
Vamos começar derivando a equação da velocidade:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, derivamos em relação a :
Passo 5
A tensão de cisalhamento na placa superior está em . Vamos substituir esse valor na derivada:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot ( -umax cdot 2h ) = -2 mu umaxh
Como estamos interessados no módulo da tensão de cisalhamento, vamos considerar o valor absoluto:
tau = 2 mu umaxh
Passo 7
Substituindo os valores numéricos:
tau = 2 times 10^-3 , N cdot s/m^2 times 0,50 , m/s0,10 times 10^-3 , m
Calculando o denominador:
0,10 times 10^-3 , m = 1 times 10^-4 , m
Agora, a divisão:
0,501 times 10^-4 = 5000 , s^-1
Multiplicando tudo:
tau = 2 times 10^-3 times 5000 = 10 , N/m^2
Resposta
A tensão de cisalhamento na placa superior é de 10 , N/m^2.