A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas e dada por:
uumax =1-(2 yh)^2
onde h e a distância separando as placas; a origem esta situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de agua a 15^circ C (viscosidade dinâmica =10^-3 N s / m^2 ), com umax =0,50 m / s e h=0,10 mm. Calcule a tensão de cisalhamento em módulo na placa superior.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um escoamento laminar entre duas placas paralelas com uma distribuição de velocidade dada por:
uumax =1-(2 yh)^2
Os dados fornecidos são:
  • Distância entre as placas, h = 0,10 , mm = 0,10 times 10^-3 , m
  • Velocidade máxima, umax = 0,50 , m/s
  • Viscosidade dinâmica da água, mu = 10^-3 , N cdot s/m^2
Vamos precisar usar conceitos de escoamento laminar e tensão de cisalhamento para encontrar a tensão de cisalhamento na placa superior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da distribuição de velocidade. A equação nos diz como a velocidade do fluido varia em função da posição y entre as placas. A origem ( y=0) está no meio, então a placa superior está em y = h/2.

Passo 3

A tensão de cisalhamento tau em um ponto é dada por:
tau = mu dudy
Isso significa que precisamos derivar a velocidade u em relação a y e depois multiplicar pela viscosidade dinâmica mu.

Passo 4

Vamos começar derivando a equação da velocidade:
uumax = 1 - ( 2yh )^2
Multiplicando ambos os lados por umax:
u = umax [ 1 - ( 2yh )^2 ]
Agora, derivamos u em relação a y:
dudy = umax [ 0 - 2 cdot ( 2h )^2 y ] = -umax ( 4yh^2 )

Passo 5

A tensão de cisalhamento na placa superior está em y = h/2. Vamos substituir esse valor na derivada:
dudy |y=h/2 = -umax ( 4 cdot h2h^2 ) = -umax ( 2h )

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da tensão de cisalhamento:
tau = mu cdot ( -umax cdot 2h ) = -2 mu umaxh
Como estamos interessados no módulo da tensão de cisalhamento, vamos considerar o valor absoluto:
tau = 2 mu umaxh

Passo 7

Substituindo os valores numéricos:
tau = 2 times 10^-3 , N cdot s/m^2 times 0,50 , m/s0,10 times 10^-3 , m
Calculando o denominador:
0,10 times 10^-3 , m = 1 times 10^-4 , m
Agora, a divisão:
0,501 times 10^-4 = 5000 , s^-1
Multiplicando tudo:
tau = 2 times 10^-3 times 5000 = 10 , N/m^2

Resposta

A tensão de cisalhamento na placa superior é de 10 , N/m^2.

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