The fundamental frequency,
, of a stretched string is a function of the string length,
, its diameter,
, the mass density,
, and the applied tensile force,
. Suggest a set of dimensionless parameters relating these variables.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência fundamental,
, de uma corda esticada. A gente precisa relacionar essa frequência com o comprimento da corda,
, o diâmetro,
, a densidade de massa,
, e a força de tensão aplicada,
. O conteúdo que vamos usar aqui é a Análise Dimensional, mais especificamente o Teorema de Buckingham Pi, que ajuda a criar parâmetros adimensionais relacionando diferentes variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
- Frequência fundamental,
: [ ] (inverso do tempo) - Comprimento,
: [ ] - Diâmetro,
: [ ] - Densidade de massa,
: [ ] (massa por volume) - Força de tensão,
: [ ] (massa vezes aceleração)
Passo 3
Segundo, aplicamos o Teorema de Buckingham Pi, que diz que se temos
variáveis físicas e
dimensões fundamentais, então podemos formar
grupos adimensionais.
Aqui, temos 5 variáveis (
) e 3 dimensões fundamentais (
). Então, podemos formar
grupos adimensionais.
Passo 4
Vamos escolher
como variáveis repetidas para formar os grupos adimensionais. Agora, buscamos combinar as outras variáveis com essas para criar os parâmetros adimensionais.
Primeiro, vamos criar um grupo com a frequência
:
Esse grupo é adimensional porque as unidades se cancelam.
Passo 5
Segundo, vamos examinar se há mais algum grupo adimensional que possamos formar. Nesse caso, já cobrimos todas as variáveis usando
. Portanto, nosso conjunto de parâmetros adimensionais é composto apenas por
.
Resposta
Um conjunto de parâmetros adimensionais é: