The fundamental frequency, n, of a stretched string is a function of the string length, L, its diameter, D, the mass density, rho, and the applied tensile force, T. Suggest a set of dimensionless parameters relating these variables.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência fundamental, , de uma corda esticada. A gente precisa relacionar essa frequência com o comprimento da corda, , o diâmetro, , a densidade de massa, , e a força de tensão aplicada, . O conteúdo que vamos usar aqui é a Análise Dimensional, mais especificamente o Teorema de Buckingham Pi, que ajuda a criar parâmetros adimensionais relacionando diferentes variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada variável envolvida:
  • Frequência fundamental, : [ ] (inverso do tempo)
  • Comprimento, : [ ]
  • Diâmetro, : [ ]
  • Densidade de massa, : [ ] (massa por volume)
  • Força de tensão, : [ ] (massa vezes aceleração)

Passo 3

Segundo, aplicamos o Teorema de Buckingham Pi, que diz que se temos variáveis físicas e dimensões fundamentais, então podemos formar grupos adimensionais.
Aqui, temos 5 variáveis ( ) e 3 dimensões fundamentais ( ). Então, podemos formar grupos adimensionais.

Passo 4

Vamos escolher Pi1 = n cdot L cdot raizrho D^2T como variáveis repetidas para formar os grupos adimensionais. Agora, buscamos combinar as outras variáveis com essas para criar os parâmetros adimensionais.
Primeiro, vamos criar um grupo com a frequência :
Esse grupo é adimensional porque as unidades se cancelam.

Passo 5

Segundo, vamos examinar se há mais algum grupo adimensional que possamos formar. Nesse caso, já cobrimos todas as variáveis usando . Portanto, nosso conjunto de parâmetros adimensionais é composto apenas por .

Resposta

Um conjunto de parâmetros adimensionais é:
Pi1 = n cdot L cdot raizrho D^2T

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