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Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(a) é injetora? Justifique. Caso não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear representada pela matriz . A questão pergunta se é injetora. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, injeção e espaço nulo. Vamos verificar se a transformação não “espreme” diferentes vetores em um único vetor no espaço de chegada, ou seja, se a única solução para é o vetor nulo.

Passo 2

Uma transformação linear é injetora se e somente se o único vetor no espaço nulo de for o vetor zero. Para verificar isso, vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e é injetora.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante de é zero, a matriz não é inversível. Isso significa que a transformação não é injetora.

Passo 3

Como não é injetora, existe pelo menos um vetor não nulo no espaço nulo de . Vamos encontrar esse vetor.
Resolvemos o sistema :
A partir da terceira equação:
Vamos chamar e . Substituindo na primeira equação:
Portanto, as soluções são da forma:
Escolhendo , temos um vetor não nulo no espaço nulo:

Resposta

A transformação não é injetora. Um vetor não nulo no espaço nulo de é .

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O conjunto é uma base de ?
Se uma matriz A é tal que , ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e
Os termos e da matriz M , valem respectivamente:




Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.
Uma matriz possui elementos cuja soma vale 1. Se onde é a transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.