40
Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(a) é injetora? Justifique. Caso não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear representada pela matriz . A questão pergunta se é injetora. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, injeção e espaço nulo. Vamos verificar se a transformação não “espreme” diferentes vetores em um único vetor no espaço de chegada, ou seja, se a única solução para é o vetor nulo.
Passo 2
Uma transformação linear é injetora se e somente se o único vetor no espaço nulo de for o vetor zero. Para verificar isso, vamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível e é injetora.
A matriz é:
Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante de é zero, a matriz não é inversível. Isso significa que a transformação não é injetora.
Passo 3
Como não é injetora, existe pelo menos um vetor não nulo no espaço nulo de . Vamos encontrar esse vetor.
Resolvemos o sistema :
A partir da terceira equação:
Vamos chamar e . Substituindo na primeira equação:
Portanto, as soluções são da forma:
Escolhendo , temos um vetor não nulo no espaço nulo:
Resposta
A transformação não é injetora. Um vetor não nulo no espaço nulo de é .