Uma matriz possui elementos cuja soma vale 1. Se onde é a transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz cujos elementos somam 1. Além disso, sabemos que:
Aqui, é a transposta de . Nosso objetivo é descobrir o produto dos elementos de . Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e trabalhar com transpostas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o formato da matriz . Como estamos multiplicando por uma matriz 2x2 e depois por , deve ser uma matriz 1x2. Vamos chamar os elementos de de e , então:
E sabemos que:
Esse é o primeiro dado importante que vamos usar.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar pela matriz dada:
Fazendo a multiplicação:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar o resultado pela transposta de , que é:
Então:
Sabemos que esse resultado é igual a 1:

Passo 5

Vamos lembrar que . Vamos elevar ambos os lados dessa equação ao quadrado:
Agora, temos duas equações:

Passo 6

Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Simplificando:

Resposta

O produto dos elementos de é .

Exercícios relacionados

Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.
40
Seja uma transformação linear dada pela matriz .
(a) é injetora? Justifique. Caso não seja injetora, determine um elemento não nulo no espaço nulo da matriz .
Se a massa for presa na extremidade de uma mola e se a mola for puxada para baixo e liberada, o sistema massa-mola começará a oscilar. O deslocamento da massa em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma:
na qual é uma constante que depende da mola e da massa. Mostre que o conjunto de toda sas funções descritas acima (com fixo e e arbitrários) é um espaço vetorial.
Seja um espaço vetorial de dimensão finita . Mostre que se é impar, não existe transformação linear tal que . Além disso, mostre que a afirmação anterior é falsa se é par.