Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros, é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve cumprir dentro do espaço de polinômios .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero seria o polinômio nulo, aquele onde todos os coeficientes são zero.
Fechado sob adição: Se você pegar dois polinômios do conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um polinômio do conjunto por qualquer número escalar (como um número real), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O polinômio nulo, que é , tem todos os coeficientes inteiros (no caso, zero). Então, ele está no conjunto. Essa condição está satisfeita.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer do conjunto. Por exemplo:
onde e são números inteiros. A soma deles é:
Como a soma de inteiros é um inteiro, todos os coeficientes de também são inteiros. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Aqui está onde ocorre um problema. Vamos pegar um polinômio do conjunto, por exemplo:
e multiplicá-lo por um escalar real, digamos . O resultado é:
Para o conjunto ser fechado sob multiplicação por escalar, todos os coeficientes de deveriam ser inteiros. Porém, se não for um número inteiro, os coeficientes podem não ser inteiros. Por exemplo, se e , então , que ainda é inteiro. Mas se , então , que não é inteiro. Isso mostra que o conjunto não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros, não é um subespaço de , porque não é fechado sob multiplicação por escalar.