41-44 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
41. Se uma função vetorial
for contínua em
, então existirá o limite
41. Se uma função vetorial
Passo 1
Vamos resumir o que temos aqui. A afirmação diz que se uma função vetorial
é contínua no ponto
, então o limite
existe. Vamos usar conceitos de continuidade e derivada para analisar se isso é verdadeiro ou falso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função
ser contínua em
. Contínua significa que ao aproximarmos
de
, o valor de
se aproxima de
. Em termos simples, não há “saltos” ou “buracos” na função nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o limite dado:
Esse limite, se existir, é justamente a definição da derivada da função
no ponto
, ou seja,
.
Passo 4
Entretanto, a continuidade da função
em
não garante que ela seja diferenciável nesse ponto. Uma função pode ser contínua sem ser diferenciável. Por exemplo, imagine a função valor absoluto
que é contínua em
mas não tem derivada nesse ponto porque há uma “quina” na curva.
Passo 5
Portanto, apenas sabendo que
é contínua em
, não podemos afirmar com certeza que o limite mencionado existe. A existência desse limite depende da função ser diferenciável naquele ponto, o que não é garantido apenas pela continuidade.
Resposta
Falso. A continuidade de
em
não assegura que o limite dado exista.
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