41-44 Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
41. Se uma função vetorial r(t) for contínua em t=a, então existirá o limite
lim h 0 r(a+h)-r(a)h

Passo 1

Vamos resumir o que temos aqui. A afirmação diz que se uma função vetorial lim h 0 r(a+h)-r(a)h é contínua no ponto , então o limite
existe. Vamos usar conceitos de continuidade e derivada para analisar se isso é verdadeiro ou falso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em . Contínua significa que ao aproximarmos de , o valor de se aproxima de . Em termos simples, não há “saltos” ou “buracos” na função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o limite dado:
lim h 0 r(a+h)-r(a)h
Esse limite, se existir, é justamente a definição da derivada da função no ponto , ou seja, .

Passo 4

Entretanto, a continuidade da função em não garante que ela seja diferenciável nesse ponto. Uma função pode ser contínua sem ser diferenciável. Por exemplo, imagine a função valor absoluto que é contínua em mas não tem derivada nesse ponto porque há uma “quina” na curva.

Passo 5

Portanto, apenas sabendo que é contínua em , não podemos afirmar com certeza que o limite mencionado existe. A existência desse limite depende da função ser diferenciável naquele ponto, o que não é garantido apenas pela continuidade.

Resposta

Falso. A continuidade de em não assegura que o limite dado exista.

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