As funções são linearmente independentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se as funções
e
são linearmente independentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de combinação linear de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar as funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa “linearmente independentes”. Duas funções
e
são linearmente independentes se a única solução para a equação
(válida para todo
no domínio) for
e
. Se existir algum outro par de valores para
e
que satisfaça essa equação, as funções são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos aplicar isso às funções dadas:
e
. Primeiro, podemos simplificar
usando propriedades dos logaritmos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos montar a combinação linear:
Substituindo
por
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para todo
no domínio (ou seja, para todo
), o coeficiente de
deve ser zero:
Isso significa que existe uma relação não trivial entre
e
(por exemplo,
) que satisfaz a equação, além da solução trivial
e
.
Resposta
As funções
e
são linearmente dependentes.