As funções são linearmente independentes?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber se as funções e são linearmente independentes. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de combinação linear de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa duas funções serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar as funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa “linearmente independentes”. Duas funções e são linearmente independentes se a única solução para a equação (válida para todo no domínio) for e . Se existir algum outro par de valores para e que satisfaça essa equação, as funções são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso às funções dadas: e . Primeiro, podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos montar a combinação linear:
Substituindo por :
Isso simplifica para:

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira para todo no domínio (ou seja, para todo ), o coeficiente de deve ser zero:
Isso significa que existe uma relação não trivial entre e (por exemplo, ) que satisfaz a equação, além da solução trivial e .

Resposta

As funções e são linearmente dependentes.

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