Esboce o campo das direções das equações diferenciais em questão. Com base nos esboços determine, em cada caso, o comportamento de y quando
; se este comportamento depender do valor inicial de y em
, descreva esta dependência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o campo de direções para cada uma das equações diferenciais apresentadas. Depois, com base nesses esboços, precisamos determinar como a função
se comporta quando
tende ao infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de
em
, também temos que descrever essa dependência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e seus comportamentos assintóticos.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação:
.
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral
. Aqui,
e
.
Para resolver, podemos usar o método do fator integrante. Calculamos o fator integrante
:
Multiplicando ambos os lados da equação pela
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Dividindo por
:
Passo 3
Agora, analisamos o comportamento de
quando
:
Quando
, o termo
tende a zero, então:
Isso significa que, independentemente do valor inicial de
em
, a solução se aproxima de
quando
cresce indefinidamente.
Resposta
Para a equação
, o comportamento de
quando
é que
tende a
, independentemente do valor inicial de
em
.
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