Esboce o campo das direções das equações diferenciais em questão. Com base nos esboços determine, em cada caso, o comportamento de y quando ; se este comportamento depender do valor inicial de y em , descreva esta dependência.





Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o campo de direções para cada uma das equações diferenciais apresentadas. Depois, com base nesses esboços, precisamos determinar como a função se comporta quando tende ao infinito. Se esse comportamento depender do valor inicial de em , também temos que descrever essa dependência. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de primeira ordem e seus comportamentos assintóticos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação: .
Primeiro, identificamos que essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral . Aqui, e .
Para resolver, podemos usar o método do fator integrante. Calculamos o fator integrante :
Multiplicando ambos os lados da equação pela :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Dividindo por :

Passo 3

Agora, analisamos o comportamento de quando :
Quando , o termo tende a zero, então:
Isso significa que, independentemente do valor inicial de em , a solução se aproxima de quando cresce indefinidamente.

Resposta

Para a equação , o comportamento de quando é que tende a , independentemente do valor inicial de em .

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