1. Calcular a área delimitada pela hipociclóide .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área delimitada pela hipociclóide definida pelas equações paramétricas:
Conteúdo da matéria: Cálculo de áreas de curvas paramétricas.
O que vamos precisar: Conhecer a fórmula para calcular a área de uma curva definida por equações paramétricas e entender como aplicar integrais nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva paramétrica definida por e :
Explicação: Essa fórmula nos permite calcular a área varrida pela curva conforme o parâmetro varia de a . Precisamos derivar e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Derivando:
Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas, como e .

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da área:
Explicação: Consideramos o intervalo de de a para cobrir toda a curva da hipociclóide.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral:

Passo 7

Usamos outra identidade trigonométrica para a integral de :

Passo 8

Calculando as integrais:
Portanto:

Resposta

A área delimitada pela hipociclóide é unidades de área.

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