Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área delimitada pela hipociclóide definida pelas equações paramétricas:
Conteúdo da matéria: Cálculo de áreas de curvas paramétricas.
O que vamos precisar: Conhecer a fórmula para calcular a área de uma curva definida por equações paramétricas e entender como aplicar integrais nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma curva paramétrica definida por e :
Explicação: Essa fórmula nos permite calcular a área varrida pela curva conforme o parâmetro varia de a . Precisamos derivar e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
Derivando:
Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas, como e .
Passo 4
Substituindo , , e na fórmula da área:
Explicação: Consideramos o intervalo de de a para cobrir toda a curva da hipociclóide.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar a integral:
Passo 7
Usamos outra identidade trigonométrica para a integral de :
Passo 8
Calculando as integrais:
Portanto:
Resposta
A área delimitada pela hipociclóide é unidades de área.