Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem. O enunciado nos dá a seguinte equação:
com a condição inicial .
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem. Para resolver, vamos utilizar o método dos Fatores Integrantes, que nos ajuda a simplificar e encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais padrão. Dividimos todos os termos por 7 para isolar :
Agora, temos a forma , onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o Fator Integrante (µ(t)). Esse fator é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
A ideia aqui é que o lado esquerdo agora é a derivada do produto , o que facilita a integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simples:
onde é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
⇒
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Resolvendo a segunda integral:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para isolar :
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :