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Considere
e
subespaços de um espaço vetorial
tal que
e
. Prove que para cada vetor
, existe um único
, tal que
.
Considere
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, dado um espaço vetorial
que é a soma de dois subespaços
e
com interseção apenas no vetor zero, todo vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Aqui, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e a ideia de soma direta. Vamos precisar entender como combinar vetores de subespaços e garantir que essa combinação seja única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
. Isso quer dizer que qualquer vetor
em
pode ser escrito como
, onde
está em
e
está em
. Então, sabemos que pelo menos uma decomposição existe para cada vetor
.
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que essa decomposição é única. Ou seja, se houver duas maneiras de escrever
como a soma de vetores de
e
, esses vetores devem ser iguais. Vamos supor que existam duas decomposições:
onde
e
.
Passo 4
Como as duas expressões são iguais a
, podemos igualar as duas somas:
Rearranjando os termos, temos:
Passo 5
Vamos analisar essa igualdade. O lado esquerdo
está em
porque a subtração de dois vetores em
também está em
. O lado direito
está em
por uma razão semelhante.
Passo 6
Então, temos que
está em
e ao mesmo tempo em
. Mas sabemos que
, ou seja, a única coisa que está nos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor zero.
Logo,
Passo 7
Isso implica que:
Ou seja, os vetores
e
são únicos para cada
.
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo vetor
em
, existe um único par
e
tal que
.
Exercícios relacionados
Encontre a distância entre os pontos
e
:
e
c) e
c)
Em cada caso, quais axiomas não se verificam? (
é o conjunto dos números racionais.)
Mostrar que o subconjunto de vetores:
é uma base do seguinte subespaço vetorial do
:
Determinar as coordenadas da matriz
de
em relação à base: