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Considere e subespaços de um espaço vetorial tal que e . Prove que para cada vetor , existe um único , tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, dado um espaço vetorial que é a soma de dois subespaços e com interseção apenas no vetor zero, todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Aqui, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e a ideia de soma direta. Vamos precisar entender como combinar vetores de subespaços e garantir que essa combinação seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde está em e está em . Então, sabemos que pelo menos uma decomposição existe para cada vetor .

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que essa decomposição é única. Ou seja, se houver duas maneiras de escrever como a soma de vetores de e , esses vetores devem ser iguais. Vamos supor que existam duas decomposições:
onde e .

Passo 4

Como as duas expressões são iguais a , podemos igualar as duas somas:
Rearranjando os termos, temos:

Passo 5

Vamos analisar essa igualdade. O lado esquerdo está em porque a subtração de dois vetores em também está em . O lado direito está em por uma razão semelhante.

Passo 6

Então, temos que está em e ao mesmo tempo em . Mas sabemos que , ou seja, a única coisa que está nos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor zero.
Logo,

Passo 7

Isso implica que:
Ou seja, os vetores e são únicos para cada .

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo vetor em , existe um único par e tal que .

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c) e
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de em relação à base: