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Considere W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tal que V=W1+W2 e W1 cap W2=0. Prove que para cada vetor v in V, existe um único w1 in W1 e w2 in W2, tal que v=w1+w2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, dado um espaço vetorial que é a soma de dois subespaços e com interseção apenas no vetor zero, todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Aqui, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, subespaços, e a ideia de soma direta. Vamos precisar entender como combinar vetores de subespaços e garantir que essa combinação seja única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que . Isso quer dizer que qualquer vetor em pode ser escrito como , onde está em e está em . Então, sabemos que pelo menos uma decomposição existe para cada vetor .

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que essa decomposição é única. Ou seja, se houver duas maneiras de escrever v = w1 + w2 como a soma de vetores de v = w'1 + w'2 e , esses vetores devem ser iguais. Vamos supor que existam duas decomposições:
onde e .

Passo 4

Como as duas expressões são iguais a w1 + w2 = w'1 + w'2 , podemos igualar as duas somas:
w1 - w'1 = w'2 - w2
Rearranjando os termos, temos:

Passo 5

Vamos analisar essa igualdade. O lado esquerdo está em porque a subtração de dois vetores em também está em . O lado direito está em por uma razão semelhante.

Passo 6

Então, temos que w1 - w'1 = 0 está em w'2 - w2 = 0 e ao mesmo tempo em . Mas sabemos que , ou seja, a única coisa que está nos dois subespaços ao mesmo tempo é o vetor zero.
Logo,

Passo 7

Isso implica que:
w1 = w'1
w2 = w'2
Ou seja, os vetores e são únicos para cada .

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo vetor em , existe um único par e tal que .

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