Em cada caso, quais axiomas não se verificam? ( é o conjunto dos números racionais.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta quais axiomas não se verificam quando consideramos o conjunto dos números racionais, que é representado por . A matéria aqui é Álgebra, especialmente os Axiomas de Campo e Axiomas de Ordem. Para resolver, vamos lembrar quais são esses axiomas e verificar quais deles não são satisfeitos pelos números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são axiomas. Axiomas são regras básicas que definem como os números se comportam. No caso de um campo, como os números racionais, temos axiomas para adição, multiplicação, existência de inversos, etc. Existem também axiomas de ordem que definem como os números são organizados em uma linha.

Passo 3

Agora, vamos listar alguns axiomas importantes e ver se eles são satisfeitos por :
  1. Existência de inversos aditivos e multiplicativos:
    • Inverso aditivo: Para todo número , existe tal que . Isso é verdade para os racionais.
    • Inverso multiplicativo: Para todo número , existe tal que . Também é verdade.
  2. Associatividade e comutatividade:
    • A adição e multiplicação são associativas e comutativas em . Ou seja, a ordem e o agrupamento dos números não mudam o resultado.
  3. Distributividade:
    • A multiplicação é distributiva em relação à adição: . Isso também é verdadeiro para os racionais.
  4. Axioma de Completeness:
    • Aqui é onde as coisas mudam. não satisfaz o axioma de completude, que diz que todo conjunto não vazio de números reais que é limitado acima tem um menor limite superior (supremo). Por exemplo, o conjunto de racionais cujo quadrado é menor que 2 não tem um supremo em , porque a raiz quadrada de 2 não é um número racional.

Passo 4

Além disso, consideremos os axiomas de ordem:
  1. Totalidade da ordem:
    • Para quaisquer dois números racionais e , ou ou . Isso é verdadeiro.
  2. Compatibilidade da ordem com as operações:
    • Se , então para qualquer , e se e , então . Esses axiomas também são satisfeitos por .

Passo 5

Então, resumindo:
  • Axiomas que NÃO se verificam em :
    • Axioma de Completude: não é um conjunto completo porque faltam números como que não são racionais.

Resposta

Os números racionais não satisfazem o axioma de completude. Todos os demais axiomas de campo e de ordem são verificados em .

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