Mostrar que o subconjunto de vetores:
(0,-1,2),(0,5,1)
é uma base do seguinte subespaço vetorial do R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 ; x=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um subespaço vetorial de definido por . Queremos mostrar que os vetores e formam uma base para esse subespaço. Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Pertencimento: Os vetores estão em ?
  2. Independência Linear: Eles são linearmente independentes?
  3. Geração: Eles conseguem gerar todo o subespaço ?

Passo 2

1. Verificando o Pertencimento:
Primeiro, vamos checar se os vetores realmente pertencem a . Lembrando que consiste em todos os vetores de cuja primeira coordenada é zero.
  • Para : A primeira coordenada é 0. Então, pertence a .
  • Para : A primeira coordenada também é 0. Então, também pertence a .
Conclusão: Ambos os vetores estão em .

Passo 3

2. Verificando a Independência Linear:
Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Vamos considerar a equação:
a cdot (0, -1, 2) + b cdot (0, 5, 1) = (0, 0, 0)
Que, em componentes, fica:
0a + 0b = 0 -1a + 5b = 0 2a + 1b = 0
Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação, nada de novo.
  • Da segunda: .
  • Da terceira: .
  • Substituindo na expressão de : .
Conclusão: A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

3. Verificando a Geração do Subespaço a cdot (0, -1, 2) + b cdot (0, 5, 1) = (0, y, z) :
Por último, precisamos garantir que qualquer vetor em 0a + 0b = 0 -1a + 5b = y 2a + 1b = z possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Tomemos um vetor genérico em : .
Queremos encontrar e tais que:
Em componentes, isso dá:
O primeiro componente já está ok. Vamos resolver as outras equações:
Podemos resolver esse sistema de equações para e em termos de e . Como sempre encontramos uma solução para qualquer e , isso significa que os vetores e geram todo o subespaço .

Resposta

Os vetores e formam uma base para o subespaço de .

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