Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um subespaço vetorial de definido por . Queremos mostrar que os vetores e formam uma base para esse subespaço. Para isso, precisamos verificar três coisas:
Pertencimento: Os vetores estão em ?
Independência Linear: Eles são linearmente independentes?
Geração: Eles conseguem gerar todo o subespaço ?
Passo 2
1. Verificando o Pertencimento:
Primeiro, vamos checar se os vetores realmente pertencem a . Lembrando que consiste em todos os vetores de cuja primeira coordenada é zero.
Para : A primeira coordenada é 0. Então, pertence a .
Para : A primeira coordenada também é 0. Então, também pertence a .
Conclusão: Ambos os vetores estão em .
Passo 3
2. Verificando a Independência Linear:
Agora, vamos ver se esses vetores são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Vamos considerar a equação:
Que, em componentes, fica:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, nada de novo.
Da segunda: .
Da terceira: .
Substituindo na expressão de : .
Conclusão: A única solução é e , então os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
3. Verificando a Geração do Subespaço :
Por último, precisamos garantir que qualquer vetor em possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Tomemos um vetor genérico em : .
Queremos encontrar e tais que:
Em componentes, isso dá:
O primeiro componente já está ok. Vamos resolver as outras equações:
Podemos resolver esse sistema de equações para e em termos de e . Como sempre encontramos uma solução para qualquer e , isso significa que os vetores e geram todo o subespaço .
Resposta
Os vetores e formam uma base para o subespaço de .