Determinar as coordenadas da matriz
(cc 1 & -1 2 & 3 )
de M2(R) em relação à base:
(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 0 & 1 0 & 0 ),(ll 0 & 0 2 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as coordenadas da matriz
1 & -1 2 & 3
no espaço das matrizes M2(R) em relação à base fornecida. Isso está relacionado ao conteúdo de mudança de base e representação de vetores em diferentes bases. Para resolver, vamos precisar expressar a matriz dada como uma combinação linear das matrizes que compõem a base e encontrar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a base que nos foi dada:
B = 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 2 & 0 , 0 & 0 1 & 2
Queremos encontrar números a, b, c, d tais que:
1 & -1 2 & 3 = a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 0 + c 0 & 0 2 & 0 + d 0 & 0 1 & 2

Passo 3

Vamos multiplicar cada coeficiente pelas respectivas matrizes e somar:

$$
1 & -1 2 & 3 = a & 0 0 & a + 0 & b 0 & 0 + 0 & 0 2c & 0 + 0 & 0 d & 2d

a & b 2c + d & a + 2d = 1 & -1 2 & 3
+
a = 1
+
b = -1
+
2c + d = 2
$$
Somando tudo, temos:

$$
a + 2d = 3

$$
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Já sabemos que a = 1 e b = -1. Agora, vamos resolver para c e d usando as equações 3 e 4:
Da equação 4:
1 + 2d = 3 2d = 2 d = 1
Substituindo d = 1 na equação 3:
2c + 1 = 2 2c = 1 c = 12

Resposta

As coordenadas da matriz
1 & -1 2 & 3
na base dada são
1 -1 12 1

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