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Mostre que o gráfico de
r = sen(t) * i + 2 * cos(t) * j + raiz(3) * sen(t) * k
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição dado por:
Queremos mostrar que o gráfico dessa função é um círculo e determinar seu centro e raio. Para isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica e vetores, verificando se a curva está localizada em uma esfera e em um plano.

Passo 2

Vamos separar as componentes do vetor:
  • Componente em i:
  • Componente em j:
  • Componente em k:
Isso nos dá as coordenadas paramétricas:

Passo 3

Para mostrar que a curva está em uma esfera, precisamos encontrar uma equação da forma , onde R é o raio da esfera.
Vamos calcular:
Somando:
Então, , o que mostra que a curva está numa esfera de raio .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a curva está em um plano. Para isso, precisamos encontrar uma relação linear entre x, y e z que seja válida para todos os pontos da curva.
Observe que e . Podemos relacionar x e z:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora que sabemos que a curva está na interseção de uma esfera e um plano, podemos concluir que é um círculo. Para encontrar o centro e o raio, vamos considerar as equações que já temos.
A esfera é centrada na origem e tem raio . O plano é , que passa pela origem.
A interseção de um plano que passa pelo centro da esfera com a esfera resulta num grande círculo, cujo centro coincide com o centro da esfera e o raio é igual ao raio da esfera.

Passo 6

Portanto, o círculo está centrado na origem e tem raio .

Resposta

O gráfico é um círculo com centro na origem e raio igual a .

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