41
Mostre que o gráfico de
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]
Mostre que o gráfico de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor posição dado por:
Queremos mostrar que o gráfico dessa função é um círculo e determinar seu centro e raio. Para isso, precisamos usar conceitos de geometria analítica e vetores, verificando se a curva está localizada em uma esfera e em um plano.
Passo 2
Vamos separar as componentes do vetor:
- Componente em i:
- Componente em j:
- Componente em k:
Isso nos dá as coordenadas paramétricas:
Passo 3
Para mostrar que a curva está em uma esfera, precisamos encontrar uma equação da forma
, onde
é o raio da esfera.
Vamos calcular:
Somando:
Então,
, o que mostra que a curva está numa esfera de raio
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a curva está em um plano. Para isso, precisamos encontrar uma relação linear entre
,
e
que seja válida para todos os pontos da curva.
Observe que
e
. Podemos relacionar
e
:
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora que sabemos que a curva está na interseção de uma esfera e um plano, podemos concluir que é um círculo. Para encontrar o centro e o raio, vamos considerar as equações que já temos.
A esfera é centrada na origem
e tem raio
. O plano é
, que passa pela origem.
A interseção de um plano que passa pelo centro da esfera com a esfera resulta num grande círculo, cujo centro coincide com o centro da esfera e o raio é igual ao raio da esfera.
Passo 6
Portanto, o círculo está centrado na origem
e tem raio
.
Resposta
O gráfico é um círculo com centro na origem
e raio igual a
.
Exercícios relacionados
Ache a derivada parcial indicada:
c)
c)
Mostre que o gráfico de
situa-se no paraboloide
.
Ache a derivada parcial indicada:
f)
f)
Expresse as equações paramétricas
como uma só equação vetorial da forma
(b) A equação vetorial na parte (a) define
como uma função vetorial. O domínio de
é
e
-