Mostre que o gráfico de
r = t sen(t) i + t cos(t) j + t^2 k
situa-se no paraboloide z = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o gráfico dado pela posição vetorial
está no paraboloide definido por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes de . A posição vetorial descreve as coordenadas , e de um ponto no espaço em função do parâmetro . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando as expressões que encontramos:
Somando essas duas expressões, temos:

Passo 4

Sabemos da trigonometria que:
Portanto:

Resposta

Como vimos, e , então . Isso mostra que o gráfico de está realmente no paraboloide .

Exercícios relacionados

Ache a diferencial total d w.
A função é descontínua na origem, pois f(0, 0) não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0, 0) de tal que forma que a nova função seja contínua em (0,0).
a) f(x, y) = (x*y) / (x^2 + x*y + y^2)
Ache a derivada parcial indicada:
c) u=sen(x y), x=2 z e^t, y=t^2 e^-z ; partial upartial t, partial upartial z
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Mostre que o gráfico de
r = sen(t) * i + 2 * cos(t) * j + raiz(3) * sen(t) * k
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]