Mostre que o gráfico de
r = t sen(t) i + t cos(t) j + t^2 k
situa-se no paraboloide z = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o gráfico dado pela posição vetorial
está no paraboloide definido por . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes de . A posição vetorial descreve as coordenadas , e de um ponto no espaço em função do parâmetro . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos calcular usando as expressões que encontramos:
Somando essas duas expressões, temos:

Passo 4

Sabemos da trigonometria que:
Portanto:

Resposta

Como vimos, e , então . Isso mostra que o gráfico de está realmente no paraboloide .

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