Mostre que o gráfico de
situa-se no paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o gráfico dado pela posição vetorial
está no paraboloide definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes de
. A posição vetorial
descreve as coordenadas
,
e
de um ponto no espaço em função do parâmetro
. Assim, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando as expressões que encontramos:
Somando essas duas expressões, temos:
Passo 4
Sabemos da trigonometria que:
Portanto:
Resposta
Como vimos,
e
, então
. Isso mostra que o gráfico de
está realmente no paraboloide
.
Exercícios relacionados
Ache a diferencial total
.
A função é descontínua na origem, pois
não existe. Determine se a descontinuidade é removível ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina
de tal que forma que a nova função seja contínua em
.
a)
a)
Ache a derivada parcial indicada:
c)
c)
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Mostre que o gráfico de
Mostre que o gráfico de
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]