Ache a derivada parcial indicada:
f) u = arctg(y/x), x = ln(t), y = e^(t) ; du/dt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para achar a derivada de em relação a , sabendo que e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de duas variáveis, e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral é:

Passo 3

Vamos calcular e . Sabemos que:
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular e . Dadas as funções:

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, substituímos e :

Passo 7

Podemos fatorar :

Passo 8

Simplificando ainda mais:

Resposta

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Mostre que o gráfico de
r = sen(t) * i + 2 * cos(t) * j + raiz(3) * sen(t) * k
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]
Ache a derivada parcial indicada:
c) u=sen(x y), x=2 z e^t, y=t^2 e^-z ; partial upartial t, partial upartial z
Expresse as equações paramétricas
x = 1/t, y = raiz(t), z = arcsen(t)
como uma só equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
(b) A equação vetorial na parte (a) define r = r(t) como uma função vetorial. O domínio de r(t) é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e r(1/2) \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 -
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.
c) y e^x y z cos 3 x z=5