Ache a derivada parcial indicada:
f) u = arctg(y/x), x = ln(t), y = e^(t) ; du/dt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para achar a derivada de em relação a , sabendo que e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma função de duas variáveis, e , que por sua vez são funções de . Então, para encontrar , precisamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A fórmula geral é:

Passo 3

Vamos calcular e . Sabemos que:
A derivada de em relação a é . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular e . Dadas as funções:

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, substituímos e :

Passo 7

Podemos fatorar :

Passo 8

Simplificando ainda mais:

Resposta

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