Expresse as equações paramétricas
x = 1/t, y = raiz(t), z = arcsen(t)
como uma só equação vetorial da forma
r = x(t) i + y(t) j + z(t) k
(b) A equação vetorial na parte (a) define r = r(t) como uma função vetorial. O domínio de r(t) é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e r(1/2) \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 -

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar três equações paramétricas em uma única equação vetorial. Isso está no contexto de vetores e funções vetoriais, uma parte importante da matemática que ajuda a descrever movimentos e posições no espaço. Para resolver isso, vamos precisar construir uma combinação vetorial das funções de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
Aqui, cada uma dessas funções descreve uma coordenada em termos de .

Passo 3

Agora, para escrever a equação vetorial, vamos combinar essas funções usando os vetores unitários , e , que correspondem às direções dos eixos , e , respectivamente.
Substituindo as funções que identificamos:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o domínio da função vetorial e calcular .

Passo 5

O domínio de é o conjunto de valores de para os quais todas as componentes de estão definidas. Vamos analisar cada componente:
  1. : não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida.
  2. : precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de números negativos não é real.
  3. : A função está definida para entre -1 e 1.
Então, combinando essas restrições, deve ser maior que zero e menor ou igual a 1:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Basta substituir nas funções:
Então,

Resposta

A equação vetorial é
O domínio de é e

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