Expresse as equações paramétricas
como uma só equação vetorial da forma
(b) A equação vetorial na parte (a) define
como uma função vetorial. O domínio de
é
e
-
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar três equações paramétricas em uma única equação vetorial. Isso está no contexto de vetores e funções vetoriais, uma parte importante da matemática que ajuda a descrever movimentos e posições no espaço. Para resolver isso, vamos precisar construir uma combinação vetorial das funções de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
Aqui, cada uma dessas funções descreve uma coordenada em termos de
.
Passo 3
Agora, para escrever a equação vetorial, vamos combinar essas funções usando os vetores unitários
,
e
, que correspondem às direções dos eixos
,
e
, respectivamente.
Substituindo as funções que identificamos:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o domínio da função vetorial
e calcular
.
Passo 5
O domínio de
é o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes de
estão definidas. Vamos analisar cada componente:
-
: não pode ser zero, pois divisão por zero não é definida. -
: precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada de números negativos não é real. -
: A função está definida para entre -1 e 1.
Então, combinando essas restrições,
deve ser maior que zero e menor ou igual a 1:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Basta substituir
nas funções:
Então,
Resposta
A equação vetorial é
O domínio de
é
e
Exercícios relacionados
Ache a derivada parcial indicada:
f)
f)
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Mostre que o gráfico de
Mostre que o gráfico de
é um círculo e determine o seu centro e raio. [Sugestão: Mostre que a curva situa-se numa esfera e também num plano.]
Suponha que a equação dada defina z como uma função de x e y. Derive implicitamente para encontrar
e
.
c)
c)
As funções são linearmente independentes?