Ache a derivada parcial indicada:
c) u=sen(x y), x=2 z e^t, y=t^2 e^-z ; partial upartial t, partial upartial z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais e da função , onde e são funções de e . Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
Nosso objetivo é achar como muda em relação a e a , ou seja, e .

Passo 3

Vamos começar calculando partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t . Usando a Regra da Cadeia, temos:
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas individuais.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial upartial x = partialpartial x sin(xy) = y cos(xy) e partial upartial y = partialpartial y sin(xy) = x cos(xy) :

Passo 5

Agora, vamos derivar partial xpartial t = partialpartial t (2z e^t) = 2z e^t e partial ypartial t = partialpartial t (t^2 e^-z) = 2t e^-z em relação a :

Passo 6

Substituindo tudo na expressão da Regra da Cadeia para partial upartial t = y cos(xy) cdot 2z e^t + x cos(xy) cdot 2t e^-z :
partial upartial t = cos(xy) ( 2z e^t y + 2t e^-z x )
Podemos fatorar :

Passo 7

Agora, vamos calcular partial upartial z = partial upartial x cdot partial xpartial z + partial upartial y cdot partial ypartial z usando a Regra da Cadeia:

Passo 8

Calculamos partial xpartial z = partialpartial z (2z e^t) = 2 e^t e partial ypartial z = partialpartial z (t^2 e^-z) = -t^2 e^-z :

Passo 9

Substituindo na expressão da Regra da Cadeia para partial upartial z = y cos(xy) cdot 2 e^t + x cos(xy) cdot (-t^2 e^-z) :
partial upartial z = cos(xy) ( 2 e^t y - t^2 e^-z x )
Podemos fatorar :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial t = cos(xy) ( 2z e^t y + 2t e^-z x )
partial upartial z = cos(xy) ( 2 e^t y - t^2 e^-z x )

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Mostre que o gráfico de
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Ache a derivada parcial indicada:
f) u = arctg(y/x), x = ln(t), y = e^(t) ; du/dt