Seja uma matriz simétrica.
Sabendo-se e são os únicos autovalores de e que e são autovetores associados , encontre, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize .

Passo 1

Vamos resolver este exercício sobre matrizes simétricas e diagonalização. O enunciado nos dá uma matriz de ordem que é simétrica, com autovalores e . Além disso, sabemos que os autovetores associados a são e . Nosso objetivo é encontrar, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matrizes simétricas e matrizes ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades legais: ela sempre possui autovalores reais e é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Ou seja, existe uma matriz ortogonal (onde ) tal que é uma matriz diagonal. Isso significa que se encontrarmos uma base de autovetores ortonormais, podemos formar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que e são autovetores associados ao autovalor . Como é e tem apenas dois autovalores distintos, precisamos verificar se há um terceiro autovetor associado a que seja ortogonal aos dois primeiros.

Passo 4

Primeiro, vamos garantir que e são ortogonais. Para isso, calculamos o produto interno:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, precisamos ortogonalizá-los usando, por exemplo, o processo de Gram-Schmidt.

Passo 5

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal. Primeiro, normalizamos :

Passo 6

Agora, projetamos sobre e subtraímos para tornar ortogonal a :
Normalizamos :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o terceiro autovetor associado a . Como é simétrica, este autovetor deve ser ortogonal aos dois primeiros. Vamos chamar este autovetor de .
Para garantir a ortogonalidade, podemos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 8

Agora temos uma base ortonormal formada por , e . Podemos organizar esses vetores como colunas da matriz :

Passo 9

Finalmente, confirmamos que é ortogonal verificando que e que é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim, a matriz que diagonaliza é a matriz ortogonal encontrada.

Resposta

Existe uma matriz ortogonal que diagonaliza , sendo:

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Num paralelogramo sabe-se que e que as diagonais são e . Calcule as coordenadas dos outros vértices.
Seja . Defina a transformação linear .
(b) Mostre que não é sobrejetora e encontre um vetor de que não está na imagem de .
Verifique se o conjunto com as operações indicadas é um subespaço vetorial de :
com as operações usuais.
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Mostre que , dada por , é uma transformação linear.