Seja uma matriz simétrica.
Sabendo-se e são os únicos autovalores de e que e são autovetores associados , encontre, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize .
Passo 1
Vamos resolver este exercício sobre matrizes simétricas e diagonalização. O enunciado nos dá uma matriz de ordem que é simétrica, com autovalores e . Além disso, sabemos que os autovetores associados a são e . Nosso objetivo é encontrar, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matrizes simétricas e matrizes ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades legais: ela sempre possui autovalores reais e é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Ou seja, existe uma matriz ortogonal (onde ) tal que é uma matriz diagonal. Isso significa que se encontrarmos uma base de autovetores ortonormais, podemos formar essa matriz .
Passo 3
Sabemos que e são autovetores associados ao autovalor . Como é e tem apenas dois autovalores distintos, precisamos verificar se há um terceiro autovetor associado a que seja ortogonal aos dois primeiros.
Passo 4
Primeiro, vamos garantir que e são ortogonais. Para isso, calculamos o produto interno:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, precisamos ortogonalizá-los usando, por exemplo, o processo de Gram-Schmidt.
Passo 5
Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal. Primeiro, normalizamos :
Passo 6
Agora, projetamos sobre e subtraímos para tornar ortogonal a :
Normalizamos :
Passo 7
Agora, precisamos encontrar o terceiro autovetor associado a . Como é simétrica, este autovetor deve ser ortogonal aos dois primeiros. Vamos chamar este autovetor de .
Para garantir a ortogonalidade, podemos calcular o produto vetorial entre e :
Passo 8
Agora temos uma base ortonormal formada por , e . Podemos organizar esses vetores como colunas da matriz :
Passo 9
Finalmente, confirmamos que é ortogonal verificando que e que é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim, a matriz que diagonaliza é a matriz ortogonal encontrada.
Resposta
Existe uma matriz ortogonal que diagonaliza , sendo: