Seja A uma matriz 3 times 3 simétrica.
Sabendo-se lambdaa=2 e lambdab=8 são os únicos autovalores de A e que v1=(-1,1,0) e v2=(-1,0,1) são autovetores associados lambdaa, encontre, se existir, uma matriz ortogonal P que diagonalize A.

Passo 1

Vamos resolver este exercício sobre matrizes simétricas e diagonalização. O enunciado nos dá uma matriz de ordem que é simétrica, com autovalores e . Além disso, sabemos que os autovetores associados a são e . Nosso objetivo é encontrar, se existir, uma matriz ortogonal que diagonalize . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores, matrizes simétricas e matrizes ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz simétrica tem algumas propriedades legais: ela sempre possui autovalores reais e é diagonalizável por uma matriz ortogonal. Ou seja, existe uma matriz ortogonal (onde ) tal que é uma matriz diagonal. Isso significa que se encontrarmos uma base de autovetores ortonormais, podemos formar essa matriz .

Passo 3

Sabemos que e são autovetores associados ao autovalor . Como é e tem apenas dois autovalores distintos, precisamos verificar se há um terceiro autovetor associado a que seja ortogonal aos dois primeiros.

Passo 4

Primeiro, vamos garantir que v1 cdot v2 = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1 neq 0 e são ortogonais. Para isso, calculamos o produto interno:
Como o produto interno não é zero, os vetores não são ortogonais. Então, precisamos ortogonalizá-los usando, por exemplo, o processo de Gram-Schmidt.

Passo 5

Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal. Primeiro, normalizamos |v1| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 :
u1 = v1|v1| = ( -1raiz2, 1raiz2, 0 )

Passo 6

Agora, projetamos proju1 v2 = ( v2 cdot u1 ) u1 = ( -1raiz2 times -1 + 0raiz2 times 1 + 11 times 0 ) u1 = ( 1raiz2 ) u1 sobre u2 = v2 - proju1 v2 = ( -1, 0, 1 ) - ( 1raiz2 times -1raiz2, 1raiz2 times 1raiz2, 0 ) = ( -1 + 12, 0 - 12, 1 ) = ( -12, -12, 1 ) e subtraímos para tornar |u2| = raiz(-12)^2 + (-12)^2 + 1^2 = raiz14 + 14 + 1 = raiz32 = raiz62 ortogonal a u2 = ( -12raiz62, -12raiz62, 1raiz62 ) = ( -1raiz6, -1raiz6, 2raiz6 ) :
Normalizamos :

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o terceiro autovetor associado a u3 = u1 times u2 = | ccc i & j & k -1raiz2 & 1raiz2 & 0 -1raiz6 & -1raiz6 & 2raiz6 | . Como = i ( 1raiz2 times 2raiz6 - 0 times -1raiz6 ) - j ( -1raiz2 times 2raiz6 - 0 times -1raiz6 ) + k ( -1raiz2 times -1raiz6 - 1raiz2 times -1raiz6 ) é simétrica, este autovetor deve ser ortogonal aos dois primeiros. Vamos chamar este autovetor de = i ( 2raiz12 ) - j ( -2raiz12 ) + k ( 1raiz12 + 1raiz12 ) .
Para garantir a ortogonalidade, podemos calcular o produto vetorial entre = ( 1raiz3, 1raiz3, 2raiz3 ) e :

Passo 8

Agora temos uma base ortonormal formada por P = -1raiz2 & -1raiz6 & 1raiz3 1raiz2 & -1raiz6 & 1raiz3 0 & 2raiz6 & 2raiz3 , e . Podemos organizar esses vetores como colunas da matriz :

Passo 9

Finalmente, confirmamos que é ortogonal verificando que e que é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal. Assim, a matriz que diagonaliza é a matriz ortogonal encontrada.

Resposta

Existe uma matriz ortogonal P = -1raiz2 & -1raiz6 & 1raiz3 1raiz2 & -1raiz6 & 1raiz3 0 & 2raiz6 & 2raiz3 que diagonaliza , sendo:

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