(d) Encontre as direç̧ões nas quais
:
(i) Cresce mais rapidamente no ponto
;
(i) Cresce mais rapidamente no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as direções nas quais a função
cresce mais rapidamente no ponto
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos indica a direção de maior crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos encontrar as derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Esse vetor
indica a direção na qual a função
cresce mais rapidamente no ponto
.
Passo 4
Para garantir que entendemos, a direção do gradiente é sempre a direção de maior aumento da função. Nesse caso, o vetor
mostra que, se você se mover na direção onde
e
aumentam igualmente, a função
aumentará mais rapidamente.
Resposta
A função
cresce mais rapidamente na direção do vetor
no ponto
.