(d) Encontre as direç̧ões nas quais :
(i) Cresce mais rapidamente no ponto ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as direções nas quais a função cresce mais rapidamente no ponto . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente da função, que nos indica a direção de maior crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja:
Vamos encontrar as derivadas parciais:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor indica a direção na qual a função cresce mais rapidamente no ponto .

Passo 4

Para garantir que entendemos, a direção do gradiente é sempre a direção de maior aumento da função. Nesse caso, o vetor mostra que, se você se mover na direção onde e aumentam igualmente, a função aumentará mais rapidamente.

Resposta

A função cresce mais rapidamente na direção do vetor no ponto .

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Para estimar a variação do valor de uma função quando nos movemos uma pequena distância a partir de um ponto em uma direcção específia , use a fórmula:
â
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de se o ponto se mover 0,1 unidade a partir de em direcção a .
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Sabemos que a derivada direcional .
(a) Mostre que a função aumenta mais rapidadmente quando é o versor de . Calcule a derivada nessa direção.
Encontre e :
(d) .
(b) Encontre se .