Encontre os subespaços vetoriais e , em que são subespaços do espaço vetorial , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os subespaços e no espaço vetorial . Aqui, é o conjunto de todos os vetores onde (basicamente, o eixo ), e é o conjunto onde . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam a soma de subespaços ( ) e a interseção deles ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja:
Vamos pegar um vetor genérico de , que é , e um vetor genérico de , que satisfaz . Podemos parametrizar como , onde é qualquer número real.

Passo 3

Somando esses vetores:
Agora, queremos ver quais são todas as combinações possíveis de e . Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e . Como esses vetores são linearmente independentes, o subespaço cobre todo o espaço .

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é a interseção de e . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em ambos os subespaços. Um vetor está em se satisfaz (para estar em ) e (para estar em ) ao mesmo tempo.

Passo 5

Substituindo na equação , temos:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é , que é o vetor zero.

Resposta

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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre ).
(i) , e .
Verifique se o subconjunto é um subespaço vetorial do espaço vetorial . Considere as operações em como sendo as operações usuais: .
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se .
(a) , .