Encontre os subespaços vetoriais
e
, em que
são subespaços do espaço vetorial
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os subespaços
e
no espaço vetorial
. Aqui,
é o conjunto de todos os vetores onde
(basicamente, o eixo
), e
é o conjunto onde
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam a soma de subespaços (
) e a interseção deles (
).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A soma de dois subespaços
e
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Ou seja:
Vamos pegar um vetor genérico de
, que é
, e um vetor genérico de
, que satisfaz
. Podemos parametrizar
como
, onde
é qualquer número real.
Passo 3
Somando esses vetores:
Agora, queremos ver quais são todas as combinações possíveis de
e
. Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
. Como esses vetores são linearmente independentes, o subespaço
cobre todo o espaço
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, que é a interseção de
e
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão em ambos os subespaços. Um vetor está em
se satisfaz
(para estar em
) e
(para estar em
) ao mesmo tempo.
Passo 5
Substituindo
na equação
, temos:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é
, que é o vetor zero.
Resposta
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Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre ).
(i) , e
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
(i)
Verifique se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
. Considere as operações em
como sendo as operações usuais:
.
Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(a) Se
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(a) ,
.
(a)