Encontre os subespaços vetoriais U+W e U cap W, em que U, W são subespaços do espaço vetorial V=R^2, onde U=(x, y) in R^2: y=0, W=(x, y) in R^2: x=2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A questão pede para encontrar os subespaços e no espaço vetorial . Aqui, é o conjunto de todos os vetores onde (basicamente, o eixo ), e é o conjunto onde . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significam a soma de subespaços ( ) e a interseção deles ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar U + W = u + w mid u in U, w in W . A soma de dois subespaços e é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de . Ou seja:
Vamos pegar um vetor genérico de , que é , e um vetor genérico de , que satisfaz . Podemos parametrizar como , onde é qualquer número real.

Passo 3

Somando esses vetores:
u + w = (x, 0) + (2y, y) = (x + 2y, y)
Agora, queremos ver quais são todas as combinações possíveis de (x + 2y, y) = y(2, 1) + x(1, 0) e . Podemos reescrever isso como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e . Como esses vetores são linearmente independentes, o subespaço cobre todo o espaço .

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que é a interseção de e . Isso significa encontrar todos os vetores que estão em ambos os subespaços. Um vetor está em se satisfaz (para estar em ) e (para estar em ) ao mesmo tempo.

Passo 5

Substituindo x = 2 times 0 implies x = 0 na equação , temos:
Portanto, o único vetor que está em ambos os subespaços é , que é o vetor zero.

Resposta

U + W = R^2 e U cap W = , 0 ,

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