Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se
e
são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.
(a) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se
e
são subespaços vetoriais de um espaço vetorial
, então
é subespaço de
.” A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar saber o que define um subespaço e como a interseção de dois subespaços se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço
de um espaço vetorial
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero:
. - Fechado sob adição: Se
, então . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Passo 3
Agora, queremos verificar se a interseção
também satisfaz essas três condições. Vamos analisar cada uma delas:
-
Contém o vetor zero: Como
e são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Portanto, e , logo . -
Fechado sob adição: Se
, então e estão em ambos e . Como e são fechados sob adição, estará em e em , logo . -
Fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então está em e em . Como e são fechados sob multiplicação por escalar, estará em e em , logo .
Resposta
Verdadeira. A interseção
é de fato um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.
Exercícios relacionados
Encontre os subespaços vetoriais
e
, em que
são subespaços do espaço vetorial
, onde
.
42
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre ).
(i) , e
.
Determine se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais (sobre
(i)
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se
.
(a) ,
.
(a)
Verifique se cada um dos subconjuntos
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
:
e
.