Diga, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta (isto é, provando se for verdadeira ou dando um contra-exemplo se for falsa).
(a) Se W1 e W2 são susbespaços vetoriais de um espaço vetorial V, então W1 cap W2 é subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Se e são subespaços vetoriais de um espaço vetorial , então é subespaço de .” A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Vamos precisar saber o que define um subespaço e como a interseção de dois subespaços se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. Fechado sob adição: Se , então .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .

Passo 3

Agora, queremos verificar se a interseção também satisfaz essas três condições. Vamos analisar cada uma delas:
  1. Contém o vetor zero: Como e são subespaços, ambos contêm o vetor zero. Portanto, e , logo .
  2. Fechado sob adição: Se , então e estão em ambos e . Como e são fechados sob adição, estará em e em , logo .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então está em e em . Como e são fechados sob multiplicação por escalar, estará em e em , logo .

Resposta

Verdadeira. A interseção é de fato um subespaço de , pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço vetorial.

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