Encontre e :
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a , e . Aqui, vamos mexer com derivadas parciais e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções envolvendo logaritmos e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de .
A função é .
Para derivar em relação a , tratamos e como constantes. A derivada do logaritmo em relação a é , então aplicamos a regra da cadeia.
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, a função é .
Aqui, precisamos usar a regra do produto, pois é um produto que envolve , e também depende de .
Aplicando a regra do produto:
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função .
Aqui, é a única variável, então a derivada é direta:

Resposta

As derivadas parciais de são:

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(d) Encontre as direç̧ões nas quais :
(i) Cresce mais rapidamente no ponto ;
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Para estimar a variação do valor de uma função quando nos movemos uma pequena distância a partir de um ponto em uma direcção específia , use a fórmula:
â
Use essa fórmula para estimar em quanto variará o valor de se o ponto se mover 0,1 unidade a partir de em direcção a .
(b) Encontre se .
(b) Calcule no ponto dado:
(i) ;