43 … Uma esfera de raio tem densidade volumétrica de carga para , onde é uma constante, e para . (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões para o campo elétrico no interior e no exterior da distribuiçâo de cargas. © Represente a magnitude do campo elétrico como uma funçào da distância ao centro da esfera.

Passo 1

Então, a gente tem uma esfera com raio e uma densidade de carga volumétrica que é para e para . O exercício pede para a gente calcular a carga total da esfera, encontrar as expressões do campo elétrico dentro e fora dela, e também representar a magnitude desse campo conforme a distância ao centro. Para resolver, vamos precisar dos conceitos de carga elétrica, densidade de carga, e a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): determinar a carga total na esfera. A carga total é dada pela integral da densidade de carga sobre todo o volume da esfera.
A densidade de carga é constante para . Então:
Aqui, é o volume da esfera.

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): determinar as expressões para o campo elétrico dentro e fora da esfera. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que diz:
Dentro da esfera ( ):
A carga encerrada dentro de um raio é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando :
Fora da esfera ( ):
Toda a carga está dentro da superfície gaussiana. Então:
Isolando :

Passo 4

Finalmente, no item ©, vamos representar a magnitude do campo elétrico como função da distância ao centro da esfera. Com base nas expressões encontradas:
Isso significa que dentro da esfera, o campo aumenta linearmente com , e fora da esfera, ele diminui com o quadrado de .

Resposta

(a) A carga total na esfera é .
(b) As expressões para o campo elétrico são:
© A magnitude do campo elétrico em função da distância ao centro da esfera é:

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