Obtenha o fluxo total do campo elétrico radial de uma carga pontual
considerando-a no centro de uma superfície (Gaussiana) no formato:
b) de uma esfera de raio
.
Após a análise dos dois resultados, que conclusão podemos chegar?
b) de uma esfera de raio
Após a análise dos dois resultados, que conclusão podemos chegar?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Queremos encontrar o fluxo total do campo elétrico gerado por uma carga pontual
que está no centro de uma superfície gaussiana que é uma esfera de raio
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando temos simetria no problema.
O que precisamos: Entender o conceito de fluxo elétrico, a Lei de Gauss e saber aplicar essas ideias numa esfera.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total
através de uma superfície fechada é igual à carga total
dentro dessa superfície dividida pela constante de permissividade do vácuo
:
Essa lei é super útil quando a distribuição de carga tem simetria, como no nosso caso com a esfera.
Passo 3
Agora, vamos pensar na esfera de raio
. Como a carga
está exatamente no centro e o campo elétrico é radial, temos simetria esférica. Isso simplifica bastante as coisas porque o campo elétrico
tem o mesmo valor em qualquer ponto da superfície da esfera.
Passo 4
O fluxo elétrico
através da esfera pode ser calculado multiplicando o campo elétrico
pela área da superfície da esfera
:
Sabemos que a área de uma esfera é:
Então, substituindo:
Passo 5
De acordo com a Lei de Gauss:
Então, igualando as duas expressões para
:
Agora, vamos resolver para
:
Esse é o campo elétrico na superfície da esfera.
Resposta
O fluxo total do campo elétrico radial através da esfera de raio
é:
Conclusão: Independentemente do formato da superfície gaussiana (desde que a simetria seja adequada, como a esférica), o fluxo elétrico depende apenas da carga total
dentro da superfície. Isso mostra a potência da Lei de Gauss em simplificar cálculos de campos elétricos em situações simétricas.