Mostre que o potencial eletrostático
de um dipolo elétrico pontual constituído pelo par de cargas
separado pela distância
, obtido em um ponto localizado por
no espaço é dado por,
sendo
o momento de dipolo elétrico pontual.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico pontual, que é formado por duas cargas iguais e opostas,
e
, separadas por uma distância
. Queremos mostrar que o potencial eletrostático
desse dipolo em um ponto qualquer no espaço, representado por
, é dado pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de potencial eletrostático, momento de dipolo elétrico e o princípio da superposição das cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático
devido a uma carga pontual
em um ponto
é dado por:
onde
é a posição da carga
.
Passo 3
Como temos um dipolo, que é composto por duas cargas:
em uma posição
e
em uma posição
, o potencial total no ponto
é a soma dos potenciais das duas cargas:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, assumimos que a distância
entre as cargas é muito pequena comparada à distância
do ponto onde estamos calculando o potencial. Isso permite usar uma aproximação de série de Taylor para expandir o potencial.
Primeiro, escrevemos
.
Usando a aproximação de que
é pequena, expandimos
em série de Taylor:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do potencial total, temos:
As primeiras duas parcelas se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, definimos o momento de dipolo elétrico
como:
Substituindo isso na expressão do potencial, obtemos:
Resposta
Assim, demonstramos que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico pontual é dado por