Mostre que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico pontual constituído pelo par de cargas separado pela distância , obtido em um ponto localizado por no espaço é dado por,
sendo o momento de dipolo elétrico pontual.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico pontual, que é formado por duas cargas iguais e opostas, e , separadas por uma distância . Queremos mostrar que o potencial eletrostático desse dipolo em um ponto qualquer no espaço, representado por , é dado pela fórmula:
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de potencial eletrostático, momento de dipolo elétrico e o princípio da superposição das cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático devido a uma carga pontual em um ponto é dado por:
onde é a posição da carga .

Passo 3

Como temos um dipolo, que é composto por duas cargas: em uma posição e em uma posição , o potencial total no ponto é a soma dos potenciais das duas cargas:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, assumimos que a distância entre as cargas é muito pequena comparada à distância do ponto onde estamos calculando o potencial. Isso permite usar uma aproximação de série de Taylor para expandir o potencial.
Primeiro, escrevemos .
Usando a aproximação de que é pequena, expandimos em série de Taylor:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do potencial total, temos:
As primeiras duas parcelas se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, definimos o momento de dipolo elétrico como:
Substituindo isso na expressão do potencial, obtemos:

Resposta

Assim, demonstramos que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico pontual é dado por

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