Mostre que o potencial eletrostático varphi(r) de um dipolo elétrico pontual constituído pelo par de cargas -q e+q separado pela distância d, obtido em um ponto localizado por r no espaço é dado por,
varphi(r)=14 pi varepsilon0 (r-r^prime) cdot p|r-r^prime|^3
sendo p o momento de dipolo elétrico pontual.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um dipolo elétrico pontual, que é formado por duas cargas iguais e opostas, -q e +q, separadas por uma distância d. Queremos mostrar que o potencial eletrostático varphi(r) desse dipolo em um ponto qualquer no espaço, representado por r, é dado pela fórmula:
varphi(r) = 14 pi varepsilon0 (r - r^prime) cdot p|r - r^prime|^3
Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de potencial eletrostático, momento de dipolo elétrico e o princípio da superposição das cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial eletrostático varphi devido a uma carga pontual q em um ponto r é dado por:
varphi(r) = 14 pi varepsilon0 q|r - rq|,
onde rq é a posição da carga q.

Passo 3

Como temos um dipolo, que é composto por duas cargas: +q em uma posição r' e -q em uma posição r' - d, o potencial total no ponto r é a soma dos potenciais das duas cargas:
varphi(r) = 14 pi varepsilon0 ( +q|r - r'| + -q|r - (r' - d)| )

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, assumimos que a distância d entre as cargas é muito pequena comparada à distância r do ponto onde estamos calculando o potencial. Isso permite usar uma aproximação de série de Taylor para expandir o potencial.
Primeiro, escrevemos r - (r' - d) = (r - r') + d.
Usando a aproximação de que d é pequena, expandimos 1|r - r' + d| em série de Taylor:
1|r - r' + d| approx 1|r - r'| - (d cdot (r - r'))|r - r'|^3

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do potencial total, temos:
varphi(r) approx 14 pi varepsilon0 ( q|r - r'| - q|r - r'| + q (d cdot (r - r'))|r - r'|^3 )
As primeiras duas parcelas se cancelam, restando:
varphi(r) approx 14 pi varepsilon0 q (d cdot (r - r'))|r - r'|^3

Passo 6

Agora, definimos o momento de dipolo elétrico p como:
p = q d
Substituindo isso na expressão do potencial, obtemos:
varphi(r) = 14 pi varepsilon0 (r - r') cdot p|r - r'|^3

Resposta

Assim, demonstramos que o potencial eletrostático de um dipolo elétrico pontual é dado por
varphi(r) = 14 pi varepsilon0 (r - r') cdot p|r - r'|^3

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