1. Se r(t) for uma função vetorial que é contínua no intervalo a <= t <= b, então
integrala^b r(t) d t
será um vetor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se é uma função vetorial contínua no intervalo , então a integral será um vetor. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função vetorial e como se integra cada uma de suas componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= no espaço pode ser escrita em termos de suas componentes. Ou seja, podemos expressar como:
Aqui, , e são funções escalares que representam as componentes da função vetorial nas direções , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, para integrar a função vetorial integrala^b r(t) , dt = lang<= integrala^b x(t) , dt, integrala^b y(t) , dt, integrala^b z(t) , dt rang<= , vamos integrar cada uma das suas componentes individualmente. A integral de uma função vetorial é definida como:
Ou seja, integramos , e separadamente e depois juntamos os resultados em um vetor.

Passo 4

Cada uma dessas integrais escalares , e resulta em um número real, já que estamos integrando funções escalares contínuas em um intervalo fechado.

Passo 5

Assim, ao juntar esses resultados em um vetor, obtemos um novo vetor cujas componentes são as integrais das componentes de . Portanto, é de fato um vetor.

Resposta

A integral resulta em um vetor.

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