- Se
for uma função vetorial que é contínua no intervalo
, então
será um vetor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se
é uma função vetorial contínua no intervalo
, então a integral
será um vetor. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma função vetorial e como se integra cada uma de suas componentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função vetorial
no espaço pode ser escrita em termos de suas componentes. Ou seja, podemos expressar
como:
Aqui,
,
e
são funções escalares que representam as componentes da função vetorial nas direções
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, para integrar a função vetorial
, vamos integrar cada uma das suas componentes individualmente. A integral de uma função vetorial é definida como:
Ou seja, integramos
,
e
separadamente e depois juntamos os resultados em um vetor.
Passo 4
Cada uma dessas integrais escalares
,
e
resulta em um número real, já que estamos integrando funções escalares contínuas em um intervalo fechado.
Passo 5
Assim, ao juntar esses resultados em um vetor, obtemos um novo vetor cujas componentes são as integrais das componentes de
. Portanto,
é de fato um vetor.
Resposta
A integral
resulta em um vetor.
Exercícios relacionados
Determine um fator integrante e resolva.
;
Resp. a) ,
Resp. a)
Resolva as seguintes EDO não homogêneas.
;
Resp. .
Resp.
Calcule a integral dupla sobre a região
dada.
Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.